Al infinito y más allá..

Hoy, en Argentina festejamos el día del padre....y muchos decimos querer a nuestros papás hasta el infinito...¿Eso será posible? ¿Pero qué es el infinito?

El infinito siempre ha sido atractivo para muchos, especialmente para los matemáticos: Arquímedes, Pitágoras hasta Aristóteles se detuvieron a pensar en él.

Con el concepto de algo que puede crecer desmesuradamente sin fin, acercándose a un borde; pero sin poder alcanzarlo nunca, como Aquiles y su tortuga. Este es el denominado infinito potencial y hasta que llegó Georg Cantor, quien a mi gusto es como el papá del infinito era como los seres humanos lo podían concebir. Si bien la idea del infinito actual ya estaba presente, se la consideraba errónea ya que era imposible "concebir" para nuestra mente una colección de infinitos elementos.

Sin meternos en muchas complicaciones para un domingo, diremos que  las teorías de Cantor, dieron en la tecla al negar algo evidente para todos "el todo es más grande que cualquiera de sus partes". Así es como define a un conjunto infinito si no es mayor que alguna de sus partes. Cantor llegó a conclusiones que conmocionaron el pensamiento científico occidental, fuera de todo sentido común y casi chocando contra todas nuestras intuiciones.  De hecho fue tan resistido por sus colegas que hicieron lobbys para impedir la divulgación de sus ideas. Algunas de esas ideas fueron por ejemplo: "No todos los infinitos son igual de grandes ¿Entonces hasta que infinito queremos a papá? 

Mejor continuemos... además demostró que ningún conjunto es tan grande como el conjunto de sus subconjuntos y que no existe algo que pueda definirse como el conjunto de todos los conjuntos...

Wow parece un trabalenguas; pero la Teoría de Conjuntos de Cantor fue la que de alguna manera salvó sus ideas,  pues adquirió gran divulgación entre las nuevas generaciones de matemáticos y gracias a ella se pudieron formalizar elementos del análisis, el álgebra, la topología, teoría de números, etc.  que hasta ese momento no tenían un lenguaje común...y así Cantor terminó por idear los números transfinitos e incluso inventó una aritmética para ellos.

Mejor escuchemos un poquito a Paenza 

Si bien Cantor no dejó todo resuelto, gracias a él se inició un período clave en la fundamentación de la matemática que se continuó hasta los trabajos de Gödel.

Para finalizar comparto una frase de Einstein que es bastante cierta ;)

"Sólo conozco dos cosas infinitas, el universo y la estupidez humana, y no estoy tan seguro de la primera" 

Lindísima semana para todos y feliz día a  los papás!!!

MAJO

Un mural dorado para mis Leonardos

Quiero compartir con Uds. mi primera experiencia con un mural interactivo realizado con Glogster

Casi como una cábala, elegí como tema:La razón áurea. Los invito a recorrerlo, clikear, leer, mirar..y luego comentar.Fue necesario omitir la inserción de los videos porque hacía demasiado lenta la carga y el uso.

El Glogster, es una herramienta muy sencilla de usar y con muchisimas posibilidades en el aula. Por si se tientan para hacer uno les dejo un tutorial

¡Qué las musas, mis Leonardos (mi hijo, Da Vinci y Fibonacci) y sobre todo el pentáculo místico me acompañen para que les guste y puedan disfrutarlo! ;)
Buena Semana
MAJO

El regreso de los Pitagóricos...y el pato Donald

Si hay algo clásico en este blog, es mencionar a Pitágoras. Es que los aportes de la escuela pitagórica a la matemática han sido tantos, que un solo post es insuficiente para comentarlos. Vamos a recordar, en parte, lo escrito a través de este video:

y luego vamos a conocer acerca del símbolo característico de los pitagóricos: el llamado pentáculo místico.

El pentáculo o pentagrama es una estrella de cinco puntas que, según dice la tradición, debe ser dibujada de un solo trazo.Usualmente se la dibuja inscripta en una circunferencia.

Pitágoras lo usaba como un símbolo de salud, belleza, conocimiento y amor. Sus seguidores lo adoptaron como distintivo para reconocerse entre ellos, ya que los pitagóricos eran una secta secreta.

Es un antiguo emblema del paganismo, de indudable carácter místico, que aparece en lapidas y monedas de todas las épocas. Los historiadores sospechan que los sumerios lo utilizaban en sus rituales, y que también lo consideraron como objeto sagrado; pero por ahora...¡es solo un chisme!

Se utilizaba para invocar protección y suponían que quienes tuvieran en su poder este objeto sagrado, estarían a resguardo, ya que el mal no podría atravesarlos. 

Si bien suele suponerse que el término pentáculo, deriva de “penta” (cinco), de cinco puntas.En realidad, la palabra deriva del griego "pan" (todo) y procede de la idea de un objeto que lo contiene todo, que resume el Todo, la síntesis del microcosmos y del macrocosmos. 

El Pentáculo representa la unión de los cuatro elementos: agua, fuego, tierra y aire, y el quinto, el espíritu, situado en la parte superior. Este comanda las cuatro energías formadoras de la materia. y además por su forma,recuerda a la figura del ser humano integrado y en armonía. 

Este objeto tan mágico, encierra muchos misterios....vamos a conocer algunos de ellos a través de un "profesor" un tanto especial: El Pato Donald

Como hemos visto, este video no es muy académico; pero es verdaderamente simple  la  explicación y gracias a ello, hemos podido conocer mucho más acerca del Pentáculo y la conocida razón áurea, tan presente en la naturaleza.

¡Cuántos objetos de la "hermandad de la estrella pitagórica" vamos a encontrar ahora! ¿Empezamos la búsqueda?

Buena semana a todos, cariños

MAJO

Chismusas Pitagóricas en PP

Al finalizar la clase, Agustina me preguntó: “¿Porqué no contas algún chisme de Pitágoras ?” Así  fue, como empecé a pensar alguna anécdota divertida para contarle la próxima clase y me dí cuenta que, lo mucho o poco que sabemos sobre Pitágoras tiene casi la categoría de un rumor...¿Porqué? Simplemente porque quien recopiló la mayor parte de la información que hoy nos llega fue Proclo, y Él vivió casi mil  años después de Pitágoras. Encima, su reconstrucción biográfica no contó con los pocos documentos existentes en la época, entre ellos una biografía escrita por Aristóteles que se perdió en el incendio de la biblioteca de Alejandría, sino que fue hecha a partir de dichos y tradiciones orales, transmitidos de generación en generación,es decir, que básicamente se basó en el chisme popular. Para colmo de males, la orden Pitagórica era una secta secreta y comunal; por lo tanto todos los conocimientos se consideraban de propiedad compartida y nadie podía atribuirse derechos sobre los mismos.¿Otro ejemplo más de aprendizaje colaborativo? Por eso, no podemos decir con exactitud, ni siquiera  si fue el mismísimo Pitagóras quien desarrolló la demostración del famoso Teorema que hoy lleva su nombre, aunque fue utilizado en Babilonia 1000 años antes...ay, ay, ay...después de tanto martirio matemático todo esto podría no ser otra cosa que una información falsa. Pero no seamos apocalípticos: las mentiras y las falsas informaciones son cosa seria. Y si no pregúntenle a Alvin Toffler (capaz que se lo encuentran en la verdulería del barrio). Este escritor estadounidense explicó con maestría lo que son las infotácticas.

Las infotácticas son las sofisticadas herramientas que utiliza el poder político para manejar la información. Existe el secreto y su contrapartida, la táctica de la información dirigida, es decir, algunos secretos se guardan, otros se filtran: ”las «filtraciones dirigidas» son misiles infor­mativos, lanzados a conciencia y apuntados con toda precisión sobre el blanco”. Otra infotáctica es la de la fuente enmascarada, donde básicamente lo que se hace es ocultar la fuente real del mensaje y que a veces puede derivar en lo que Toffler llama las falsificaciones descaradas. También existe la llamada táctica de los canales traseros, donde se envía la información pero por otro canal al esperado, probablemente saltándose a alguien en el camino. Pero quizás la más refinada de todas estas técnicas sea la táctica del doble canal, que consiste en enviar informaciones simultáneas o contradictorias por canales diferentes para crear confusión. Paciencia, todavía hay más: la táctica de acceso, la táctica de necesidad de saber, la táctica de la necesidad de no saber (en consonancia con el famoso “ojos que no ven...”), la táctica de la omisión (eliminar hechos importantes), la táctica de la generalidad (una nube de incongruencias que más que ocultar, aturde), la táctica del momento oportuno (como retrasar la llegada de un mensaje hasta que sea demasiado tarde), la táctica del goteo (que es dar la información...pero de a poquito), la táctica del maremoto (dar demasiada información verdadera, pero toda junta obligándonos al engorroso trabajo de separar lo anecdótico de lo importante), la táctica de la nebulosa (que mezcla rumores falsos junto con hechos ciertos), la táctica del retorno, la conocidísima táctica de la Gran mentira (explicada por Goebbels en su frase “si una mentira es lo bastante grande, será más creíble que una serie de pequeñas mentiras”) y la táctica del revés. Uf! Nos agotaron. Se nos ocurre que esta historia de Pitágoras, historia que por otra parte estamos empezando a poner en duda, encaja con varias de estas infotácticas: al toro por las astas le gusta ubicarla en la categoría de la táctica de la gran mentira, porque si vamos a equivocarnos que sea con contundencia; y ¡la musa matemática coinicide!

Pero dejémonos de hacernos las serias y volvamos a lo que realmente nos interesa que es todo este chusmerío pitagórico; ya que estamos aceptando como válidas estimaciones y comentarios, cuando no hay evidencia documental que los ampare.

Pitágoras

Se supone que Pitágoras nació en el siglo VI ac. Fue casi contemporáneo de Buda, Confucio y Lao-tse... ¡Pavada de siglo para nacer! Inició una orden religiosa que creía en la reencarnación por lo cual tenían prohibido comer carne, vino y habas, lo cual no lo habilita para que nosotros también debamos sufrir por su culpa. Su emblema distintivo era el pentáculo místico o pentagrama, sobre el cual quizás hablemos próximamente (pero mientras tanto, tómenlo sólo como un rumor). En aquella época las mujeres estaban marginadas de la vida intelectual de Grecia y sin embargo Pitágoras las aceptó en su escuela. Menos mal, porque con lo de no poder comer ni carne, ni legumbres, ni tomar vino, ya veníamos mirándolo medio mal. Los Pitagóricos daban gran importancia a la educación, ya que a través de ella se lograba conseguir la moderación y el dominio de uno mismo, imitando el orden y armonía del universo. En ella, hombres y mujeres estudiaban una matemática, conformada por  Aritmética , Geometría, Música y  Astronomía. Consideraban que la Aritmética era el estudio del número en estado puro, la Geometría estudiaba el espacio en estado puro, la Música era el estudio del número en movimiento y la Astronomía era el estudio del espacio en movimiento. Para ellos, existían dos tipos de miembros en la sociedad pitagórica: los esotéricos, que vivían en el edificio de la escuela -eran realmente los maestros- y los exotéricos ,quienes asistían diariamente;pero no vivían ahí -los alumnos. Ahora no se crean que en ese grupete todo era felicidad....las malas lenguas dicen que a Hypaso lo ahogaron “sus compañeritos pitagóricos” por creer que los había traicionado revelando la irracionalidad de la raíz de 2..

¡Cualquier similitud con nuestra realidad escolar es pura coincidencia o una gran mentira que nos creímos de punta a punta!

Carta de un Estudiante a Alvin Toffler por Exponentecero

e O e...llegó el número e

Vamos a compartir  con los chicos de segundo año de "latresdelsiete", un video del Dr. Adrián Paenza, quien nos presenta al número e

El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemática.

Las primeras cifras son:

2.7182818284590452353602874713527 (y así sigue...infinitamente sin periodicidad)

Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler

e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier) y que ustedes aprenderán en la escuela un poco más adelante. Por ahora, les cuento una de las muchas aplicaciones del número e, ya que seguramente alguna vez escucharon acerca del procedimiento del Carbono 14 

Para determinar de una manera aproximada la antigüedad de un objeto que está formado por materia orgánica se mide la cantidad de carbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen una cantidad de carbono 14 constante, cuando un ser vivo muere la cantidad de carbono se va desintegrando y como el C14 es radioactivo, su radiación se va "perdiendo"a lo largo del tiempo.

 Se encontró una función que describe esa desintegración y tiene la siguiente fórmula:

            Q = Q_o · e^-0,000124·t

Llamamos Q a la cantidad de carbono 14 final, Qo a la cantidad de carbono 14 inicial y t es el tiempo.

Bueno, para ser la primera vez que escuchan sobre e, me parece bastante....¿No?

¡Linda semana y a seguir buscando irracionales famosos, chicos!

Cariños

MAJO

¿Quién es PI?

Hoy quiero dedicar mi post a los chicos de segundo año de "la tres del siete" , porque siempre hablamos de PI; pero ¿Quien es?

Se lo define como el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Esto quiere decir, la cantidad de veces que el diámetro está contenido en el perímetro.

Podemos calcular un valor aproximado a través de una simple experiencia casera, midiendo el perímetro de algún objeto cilíndrico y luego dividiendo el mismo, por el diámetro.
¿Cuánto les da? Si midieron con cierto cuidado, seguramente el resultado se aproxima a “tres y pico...”

Lo  curioso es que para todos los círculos, sean grandes o pequeños, la relación circunferencia y  diámetro,  es siempre la  misma PI. Un número tan especial que tiene infinitas cifras decimales no periódicas y hasta un nombre propio,  aunque ésto, como muchas otras cosas, no siempre se supo.

Desde hace aprox. unos 5000 años, el hombre ha utilizado  objetos que ruedan para ayudarse en sus tareas, por eso es muy probable que haya descubierto ese "3 y pico” hace muchos años, pues es imprescindible para calcular y resolver problemas que involucraran estos cuerpos.

Cuenta la historia, que los antiguos egipcios en el 1600 a. de C. ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede leerse lo siguiente:

"Corta 1/9 del diámetro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo área que el circulo".

Si llamamos A al área del círculo, ésta será igual a 8/9 del diámetro al cuadrado

     A=(8/9 d)^2

Como   d=2r entonces   A= 2r^2 x 64/81  = 4r2 x 64/81  = r2 x 256/81

Así vemos como  π adoptaba el valor 256/81, aproximadamente 3,16.  En Mesopotamia, más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban el valor 3,125 (3+1/8) según  la Tablilla de Susa.

Mientras que los geómetras de la Grecia clásica sabían que la razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre una constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera y el cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de "Los Elementos" de Euclides).

Fue Arquímedes en el siglo III a. de C. quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con π. Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo en una circunferencia, polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica aproximación para la época :

3+10/71 < π < 3+1/7

 es decir, el número buscado está entre 3,1407 y 3,1428

Podemos ver aproximaciones del número Pi, en: Aproximación de PI

A partir de éste principio, en el siglo II d. de C, Ptolomeo utilizó polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximar un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3,14166...
En China también se hicieron esfuerzos para calcular su valor. Liu Hui en el siglo III, utilizó polígonos de hasta 3072 lados para conseguir el valor de 3,14159, y Tsu Ch'ung Chi en el siglo V da como valor aproximado 355/113 = 3,1415929...
Los Siddhantas hindúes, que datan del 380 d. de C. registran a π con un valor 3 + 177/1250, que es exactamente 3,1416. Un valor de Pi muy aceptado y difundido.

Utilizando el método de Arquímedes, en el siglo XVI, el matemático francés Vieta usó polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse hasta 3,141592653 ; pero el mayor logro conseguido con este método se debe al matemático alemán, residente en Holanda, Ludolf van Ceulen que trabajó en el cálculo de π casi hasta el día de su muerte. Llegó a trabajar con polígonos de miles de lados para conseguir una aproximación de 35 cifras decimales. Su deseo fue que, después de su muerte, se grabará sobre su lápida el número con los 35 decimales calculados.
El siguiente avance teórico se atribuye a dos holandeses:  Willebrod Snell y Christian Huyghens , en el siglo XVII con cuyas fórmulas se obtienen  3.141566592 y 3.141697707 respectivamente, lo que da una idea de lo próximos que están a π.
Como vemos,  el número de lados necesarios para calcular 35 decimales con el método de Arquímedes es bastante considerable, y los nuevos métodos de Snell y Huyghens tampoco resultaron demasiado eficaces. El trabajo necesario para calcular más y más decimales empezaba a escapar a las posibilidades del ser humano. Pero nuevos métodos  estaban naciendo y empezando a crecer en las mentes de algunos matemáticos. Durante el siglo XVII empezaron a utilizarse las series, productos infinitos y fracciones continuas, y el cálculo diferencial de Leibnitz y Newton jugó un papel importante en todo ello.

En 1674 el alemán G. Leibnitz obtiene  la serie: π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 -...
pero presenta el mismo problema. Tienen que sumarse unos 19 millones de términos para conseguir 7 decimales correctos. Dejemos claro que el haber encontrado estas expresiones supone un gran mérito, aunque no son útiles en la práctica para calcular π con precisión.

La solución a todo debía ser una serie de convergencia rápida, sin elcálculo de raíces o expresiones  excesivamente complejas. John Machin encuentra una solución. Utilizando esa fórmula, él consiguió 100 decimales ¡Calculados a mano!
Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159  = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y al adoptarlo Leonard Euler, en 1737 lo convirtió en la notación habitual que se usa hasta nuestros días.

Así, se siguieron hallando cifras y cifras para Pi y obviamente nunca se halló su periodicidad. Pero una gran  diferencia surge con el diseño de la primera computadora, a partir de ahí se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π , que permitieron hallar grandes cantidades decimales. De esta forma, en 1949 con la ENiAC y rompiendo todos los récords, se obtuvieron 2.037 cifras decimales en 70 horas.

Lo último que sabemos, es que en Enero 2011, Shigeru Kondo, un ingeniero de sistemas japonés calculó el valor de “pi” con aproximación a cinco trillones de dígitos. Todo ello usando una computadora armada por él mismo.

Como podemos ver a través de esta historia, paradójicamente, el valor de Pi ha ido cambiando con el tiempo, aunque siempre ha representado lo mismo. Nunca se alcanzaran sus infinitas cifras; pero el hombre  desea estar cada vez más cerca.

Cosas de la matemática, ¿No?