martes, 30 de agosto de 2011

Dante sumaba.Nosotras también: primer post en PP

Es verdad: existen parejas de todo tipo. Las hay eternas, imposibles, desparejas, incomprendidas. Pero ésta es de otro tipo:es incalificable. No, mentira, es una pareja pedagógica autoconvocada y bloggera. Es una nueva categoría que inventamos así que no se maten buscándola en Wikipedia. A las dos profesoras que formamos esta pareja, nos parece importante y más que necesario el trabajo en equipo. Por eso decidimos escribir éste, nuestro primer post en PP (Pareja pedagógica) que no es lo mismo que “al pepe”(ojo), y hacerlo como ejemplo legible del antiguo “El Todo es más que la suma de partes”  que nació con Aristóteles y se modernizó con Von Bertallanfy en 1945. Trabajo colaborativo lo llaman algunos.
Y así empieza este post que también pueden leer en  El toro por las astas

Dante contaba historias, pero aunque no lo crean también contaba números. En su obra más conocida, “La Divina Comedia”  todo se estructura en base al número 3:
La obra consta de 3 partes: Infierno, Purgatorio y Paraíso.
Cada una de ellas tiene 33 cantos.
El infierno se divide en 9 círculos (9 es múltiplo de 3, 9 equivale además a 3 veces 3)
El Purgatorio se divide en 9 jirones.
El Paraíso se divide en 9 cielos.
Los condenados se agrupan en 3 series: Los incontinentes, los violentos y los fraudulentos.
Los que purgan sus pecados forman 3 grupos: aquellos con un amor desviado, otros con un amor deficiente y por último, los que pecaron de amor excesivo.
Y en el Paraíso están los seglares, los activos y los contemplativos.
Tres, tres, tres.
¿Obsesión? No. Significado. A Dante hoy le habrían diagnosticado TOC (trastorno obsesivo compulsivo), pero por suerte para él, y para nosotros vivió en el medioevo toscano, lejos de las obsesiones de la medicina y la psicología modernas.

Para Dante, como para muchos otros el 3 representaba la perfección y la unidad; era además la forma númerica de la trinidad, símbolo religioso por excelencia y por lo tanto, indiscutido.
Pero hay más aún: a los 33 cantos de cada parte hay que sumarle un canto que sirve de introducción. Entonces tenemos 33x3+1=100
El 100 también tiene su significado. Nos ponemos de pie para recibir a los pitagóricos:
Para Pitágoras todo era número. Su mundo eran los números naturales,esos que empiezan:1,2,3 y continúan para siempre, por eso los matemáticos ponemos  tres puntos suspensivos, para nosotros significan que la progresión es infinita. Otra vez el tres.¿Qué habrá significado para el Dante?
A  los pitagóricos les fascinaban el 1, 3, 6 y 10 porque eran cantidades que se podían organizar como triángulos formados por puntos, por eso los llamaban números triangulares. En cambio cuando los puntos eran 4, 9, 16 , 25 ,36, 64 , 100 ..entre otros, se podían  ubicar formando cuadrados. Por eso, aún hoy, les decimos números cuadrados.
También hablaban de números abundantes, deficientes y perfectos....Y así, podríamos continuar escribiendo pasando por el infierno, el purgatorio y el cielo; porque son tantas las anécdotas y relaciones que hay entre Pitágoras y los números, tantas que uno podría decir que son infinitas sin necesidad de hacer trampa y empezar a enumerar...
 Tranquilos, Voy a ser breve y a elegir solo un par de numeritos : 1 y 10.
Primero, cabe decir que es inevitable hablar del 1, la mónada, el número masculino por excelencia, denominado  el “padre de todos los demás”, y como la explicación es bastante evidente, mejor la omito.
Ni hablar  del mágico diez, sin connotaciones futboleras en este momento,  por ser la suma del 1+2+3+4 , decían que reunía toda la naturaleza de los números: lo masculino, lo femenino, el matrimonio....Fue elegido por los pitagóricos para sus juramentos, por estar lleno de mística , y forma la  Tetraktys ,“que contiene la primavera y la raíz  de la incesante  naturaleza”

                                                          

Y si, los números son el lenguaje de la naturaleza, dijo Galileo y empezamos a ver ecuaciones en el agua, el cielo y la tierra.

Así, es como las musas matemáticas toman el toro por las astas para confirmar que las parejas pedagógicas son posibles; por más extrañas y desparejas que sean.
Tan simple o tan dificil como la matemática y la comunicación, es construir estas parejas. Lleva tiempo y es todo un aprendizaje, con los altibajos que ésto implica;pero el esfuerzo vale la pena, el producto final es riquisimo y el  aprendizaje, mutuo.  Solo es cuestión de animarse y empezar.

 ¿En qué círculo del infierno pagaremos el pecado de unir comunicación y matemática?
El infierno del Dante

domingo, 28 de agosto de 2011

El huracán de Fibonacci

Mi idea de esta semana era escribir sobre Pitágoras, como comenté en el último post; pero la matemática se va filtrando en nuestra vida a través de formas muy curiosas (y como yo estoy bastante atenta a sus señales), aquí estoy escribiendo sobre Fibonacci.
Quizás Uds. se pregunten cual fue la "invasión matemática" que me desvió de mi rumbo, por eso quiero mostrarles la fotografía que esta mañana twiteó @ClaraGrima y después les cuento..
Ésta es una imagen satelital del Huracán Irene, tan temido y mencionado últimamente. Sobreestampada a la foto, vemos una espiral bastante especial. ¿Quieren saber de que se trata?

Primero, aclaremos que una sucesión, en matemática,  es una función definida en los números naturales. Ésto, quiere decir que es una “lista” de números que se generan aplicando ciertas reglas, y cada uno de esos “resultados” van a ser números N. Existen infinitas sucesiones y por lo general, se intenta que las leyes que las originan, sean simples y claras. 
Como todo en la vida, algunas son más “famosas” que otras, para mí la sucesión más conocida, es sin duda, la Sucesión de Fibonacci.
Leonardo de Pisa (1170 - 1250), también conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano que se hizo famoso por difundir en Europa el sistema de numeración decimal, el mismo que usamos en la actualidad. Como se imaginan, Leonardo también ideó la sucesión de números que lleva su nombre, la famosa “sucesión de Fibonacci”.
Ésta sucesión se obtiene  empezando por la unidad, y construye cada uno de sus términos a partir de  la suma de los dos anteriores: aquí vemos una pequeña porción: (1,1,2,3,5,8,13,...).
Justamente, asociada a esta sucesión numérica, está la espiral de Fibonacci, que se construye en base a cuadriláteros formados con medidas que siguen la serie y uniendo con una curva las esquinas opuestas de los cuadrados de igual medida, leerlo resulta confuso, por eso mejor veamos un video:

Así de simple, así de sencillo; por eso es más que sorprendente que una construcción matemática como ésta aparezca en forma tan recurrente en la naturaleza. La distribución de las hojas alrededor del tallo, la reproducción de los conejos, la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos, algunas galaxias y como veíamos anteriormente el mismísimo huracán Irene, se producen siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. En el video se habla de "la huella de Dios", yo que soy medio hereje, prefiero la frase de Galileo "la naturaleza está escrita en lenguaje matemático" y pensar de que manera el hombre es capaz de interpretar esas leyes naturales. Más allá de cualquier explicación, la verdad es que estas maravillas me siguen sorprendiendo todos los días.

Ésto es solo el principio, tal como la sucesión, los ejemplos siguen y siguen....solo hay que saber mirar para encontrarlos. Para eso, es necesario ir día a día, buscando respuestas a la pregunta que hace un tiempo hizo el Dr. Paenza ¿Matemática estas ahí?, porque sí, ella siempre está.

¡Muy buena semana.!
MAJO

Ah! le debo la conexión con Phi, el número de Oro...pero eso llegará más adelante ;)

sábado, 27 de agosto de 2011

Pitagóricos I

Todo es número
Pitágoras 


Previo a una serie de post sobre Pitágoras, comparto con Uds.  esta nota de Nota de Claudio Sánchez del Suplemento Futuro- Página 12, dedicada especialmente a los colegas de Música y porque si hay algo propio de las musas es  justamente la música, por muy matemáticas que sean.

Saludos
MAJO


El Tambor de Pitágoras

En música hay conjuntos formados exclusivamente por instrumentos de viento, como trompetas, flautas o clarinetes. También hay conjuntos formados exclusivamente por instrumentos de cuerda: violines, violas o guitarras. Pero no hay, al menos no en la llamada música occidental, conjuntos formados exclusivamente por tambores.

Es posible tomar una partitura escrita para flauta y ejecutarla en violín. Y viceversa. Pero, en general, no es posible ejecutar sobre tambores una pieza escrita para guitarra, violín o trompeta.
Esta discriminación en contra de los tambores tiene una base física. Cuando se pulsa una cuerda, el sonido que oímos es, en realidad, una mezcla de sonidos. Hay un sonido principal, o tono fundamental y, superpuestos a él, otros sonidos, más débiles y agudos, llamados armónicos o sobretonos. Puede comprobarse experimentalmente que la frecuencia de estos sobretonos es un múltiplo simple del tono fundamental.
La frecuencia es la velocidad con la que vibra el sonido y determina cuán grave o agudo es: más alta la frecuencia, más agudo el sonido; más baja la frecuencia, más grave el sonido. Por ejemplo, la nota La estándar, usada como referencia al afinar instrumentos, tiene una frecuencia de 440 hertz. Es decir, vibra cuatrocientas cuarenta veces en un segundo (por eso la banda que acompañó a Juan Luis Guerra en el comienzo de su carrera se llamaba La 440). Si una cuerda da un tono fundamental de 440 hertz, el primer armónico será de 880 hertz (el doble), el siguiente de 1320 (el triple) y así sucesivamente. Para nuestro oído, estos sonidos se acoplan musicalmente y “suenan bien”.
El efecto es parecido cuando se hacen sonar simultáneamente dos o más cuerdas. El sonido conjunto es musical y suena agradable al oído cuando la frecuencia de las cuerdas se relacionan a través de números sencillos: cuando el sonido de una tiene una frecuencia doble del de la otra, o triple, o dos tercios a algo similar. Si las frecuencias están en una relación más compleja, por ejemplo, de 13 a 17, el sonido resultante no es tan claro y definido, y “suena mal”.

LAS MATEMATICAS DE LA MUSICA

Se dice que esto lo descubrió Pitágoras (el mismo del teorema). Según la leyenda, al pasar por una herrería, Pitágoras escuchó el sonido que hacían los herreros al golpear sobre los yunques. Por alguna razón, ese concierto de martillazos a veces sonaba musical y a veces no.
Al volver a su casa, Pitágoras comenzó a experimentar con cuerdas de distinta longitud y encontró que el sonido musical se obtenía cuando la relación entre sus longitudes se expresaba mediante números pequeños: una el doble de largo que la otra, o el triple, o dos tercios o alguna relación similar. Como la frecuencia de los sonidos que emite una cuerda depende, a igualdad de otras condiciones, de su longitud, lo que Pitágoras había encontrado es la relación de frecuencias que, sabemos ahora, definen el carácter musical de un sonido.
A Pitágoras le impresionó tanto que una relación numérica permitiera definir algo tan subjetivo como la diferencia entre el ruido y la música que parece que fue ahí cuando dijo que “los números gobiernan el mundo”. Por lo menos, gobernaban la música. No es casual que, en la antigua Grecia, la música fuera una rama de la matemática, junto a la aritmética, la geometría y la astronomía.
Esto que se ha dicho para las cuerdas vale también para los instrumentos de viento. Y eso es porque, en ambos casos, lo que suena es un elemento lineal, de una dimensión: en el caso de los instrumentos de cuerda, una cuerda; en el caso de los de viento, una columna de aire. En los elementos de una dimensión se cumple la condición de que el tono fundamental y los armónicos tienen frecuencias que se relacionan mediante números sencillos. En los tambores, en cambio, lo que suena es un parche, un elemento de dos dimensiones. Cuando suenan, los parches también producen una mezcla de sonidos con un tono fundamental y una familia de armónicos. Pero las frecuencias de estos sonidos no guardan una relación numérica sencilla. Para una membrana circular, por ejemplo, el primer armónico tiene una frecuencia que es 1,59 veces la del tono fundamental.
Como no aparece aquí la relación numérica simple que sí se da en los instrumentos de cuerda y de viento, los tambores no producen un sonido “limpio”, “definido” o “musical”. Por eso, salvo excepciones, juegan un papel secundario o de apoyo en la llamada música occidental, basada en las observaciones de Pitágoras.

LA CUESTION DE LOS TIMBALES

Lo dicho acerca de los tambores y su papel menor en la música occidental tiene por lo menos una excepción: los timbales. Este instrumento aparece a menudo en grandes obras de la música clásica. Tanto Bach como Beethoven escribieron muchas obras que requieren timbales para su ejecución. En la Misa de Réquiem, de Berlioz, participan dieciséis timbales operados por diez timbaleros.
Esta excepción a favor de los timbales también tiene una justificación física. Normalmente, un parche como el de un timbal debería emitir armónicos de frecuencias de entre 1,59 y 2,14 veces mayores a la del tono fundamental, respectivamente. Sin embargo, el aire encerrado en la caja del timbal retarda la vibración del parche, de modo que las relaciones entre las frecuencias de los armónicos y la del tono fundamental pasan a ser de 1,5 y 2, relaciones sencillas que dan un sonido musical, agradable al oído, según el criterio descubierto por Pitágoras.

martes, 23 de agosto de 2011

Cambio de hábito

Hace un par de días @sergitic , @notemates y yo conversábamos (vía twitter) acerca de como ser profes de matemática sin parecerlo, saliendo del estereotipo de la clase aburrida y poco divertida.

Por eso, cuando vi este video de Dan Meyer, me pareció apropiado para reflexionar sobre la enseñanza de la matemática hoy.


Para discutir sobre el desarrollo del razonamiento matemático y la resolución de problemas, en contraposición con un modelo reproductivista de algoritmos. La Aplicación de Teoría de Situaciones Didácticas en lugar del modelo de enseñanza tradicional.

 
Algunas de las sugerencias de Meyer son:
  •  Usar recursos Multimedia
  •  Promover la intuición matemática
  • Hacer preguntas breves 
  • Generar espacios para que los alumnos propongan sus propias preguntas acerca de la situación
  • Permitir que los alumnos formulen los problemas por ellos mismos.
  •  Ayudar un poco menos....
  • Aprovechar los recursos que nos proporcionan las Tics para crear y compartir nuevas producciones
Porque debemos rescatar algo que parece quedar en el olvido. Recordar en el aula principios tan simples como: Todos resolvemos problemas y la matemática está presente en forma permanente en nuestra vida cotidiana.
¿Seguimos pensando juntos? 
Buena semana
MAJO

Soneto Matemático

Encontré esta "demostración" en soneto y me pareció divertida para compartir:


Soneto a la convergencia de 1/n
La sucesión que viene definida
por an igual, exactamente,
al inverso de n, es convergente,
lo cual demostraremos enseguida:
Para toda distancia preelegida
al conjunto R+ perteneciente
(ε, por ejemplo), es evidente,
por una propiedad muy conocida,
que el inverso de ε se puede
superar por un m natural
y, para todo n mayor, sucede
que excede a dicho inverso por igual,
y esto hace, pues, que an quede
cercano a 0 bajo el radio tal.
Carlos Ivorra

miércoles, 17 de agosto de 2011

Fermat para Alicia

Esta mañana me llovieron mensajes que decían: ¿Viste el Doodle que hoy puso Google?
Este trabalenguas hace referencia al homenaje de Google, por el "cumpleaños" de Pierre de Fermat y sobre él vamos a reflexionar,  especialmente para que lo lea Alicia, que está enfermucha y se entretiene con estos post.
En el siglo XVII, el matemático francés Fermat se preguntó si la ecuación:

podía resolverse cuando n tomaba diferentes valores enteros. Cuando n=1 la resolución es obvia, si n=2 estamos frente a un ejemplo del conocido Teorema de Pitagóras ; pero cuando el exponente supera el 2, la cuestión se complica bastante. 
Pese a sus denodados esfuerzos, Fermat no pudo hallar tripletes de números naturales (x,y,z) que cumplieran esa igualdad para exponentes superiores al cuadrado, en forma general. Por lo tanto, determinó que era imposible y en el estrecho margen de la Arithmetica de Diofanto escribió: "He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa para este teorema; pero este margen es demasiado pequeño para contenerla" y con ésto, dio el paso que inmortalizó su nombre: La conjetura de Fermat.
Una pregunta que trascendió en el tiempo, algo que intuitivamente todos sospechabámos cierto, pero que no se podía considerar así, hasta que alguien no lo demostrara. Eso constituye la médula de la matemática: el demostrar. Además, todos teníamos la duda: ¿Existía o no esa demostración? 
Esta conjetura, que obsesionó a matemáticos por más de tres siglos, permaneció infranqueable hasta 1993, cuando Andrew Wiles, anunció una demostración que, de manera retrospectiva, respaldaba aquellos dichos de Fermat. Eso sí, era extensa, tenía 200 hojas (de seguro no iba a entrar en aquel margen)  y usaba elementos matemáticos modernos, muy modernos.

Por eso, mi reflexión acerca del Doodle de hoy, no es muy histórica o biográfica. Hoy, elijo el camino de hablar sobre algo característico de la matemática, algo que nació con los Pitagóricos en Grecia: la necesidad de generalizar y para ello, argumentar lógicamente todo, hasta lo que parece más intuitivo y evidente. Para ello Euclides, otro griego, creó un método: la axiomática,donde a partir de unos pocos axiomas evidentes es posible probar (demostrar) infinitas propiedades. Un método que desde hace siglos, todos los que hacemos matemática seguimos utilizando de la misma manera, con más o menos creatividad y aunque se empleen elementos ultramodernos, como en la demo de Wiles.

Y si, la matemática es así: clásica y moderna. Una gigantesca construcción del pensamiento humano que se actualiza y cambia en forma permanente, pero sin perder su esencia.
Lo mejor de todo, es que va a seguir cambiando..
Para entretenerse un poquito, los invito a pasar por la solapa de Videos&Pelis que voy a subir una sugerencia relacionada.
Buena semana, y como siempre espero ansiosa sus comentarios.
MAJO

domingo, 14 de agosto de 2011

¡Eureka!



Como vimos, si podemos decir que alguien ha sido inspirado por las musas, ése fue Arquímedes de Siracusa, un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo.
Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad. Dentro de sus trabajos reconocidos se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.
Arquímedes es considerado uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia. Usó el método de exausción para calcular el área bajo el arco de una parábola mediante la sumatoria que aproximaba  una serie infinita de cada vez más pequeños rectángulos, y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi. También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar a como hoy los utilizamos en el cálculo integral. A través de la reducción al absurdo (reductio ad absurdum), fue capaz de contestar problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método de exhausción, y fue el sistema que utilizó para aproximar el valor del número π. Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 310/71 (aproximadamente 3,1408) y 31/7(aproximadamente 3,1429), lo cual es consistente con el valor real de π. También demostró que el área del círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo.
Una de las anécdotas más conocidas sobre Arquímedes la narra Vitruvio y cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular.  Hierón II ordenó la fabricación de una nueva corona con forma de corona triunfal, y le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha sólo de oro o si, por el contrario, un orfebre deshonesto le había agregado plata en su realización. Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su masa y volumen, a partir de ahí, su densidad. Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la bañera cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría ser usado para determinar el volumen de la corona. Debido a que el agua no se puede comprimir, la corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir el peso de la corona por el volumen de agua desplazada se podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor que la densidad del oro si otros metales menos densos le hubieran sido añadidos. Cuando Arquímedes, durante el baño, se dio cuenta del descubrimiento, se dice que salió corriendo desnudo por las calles, y que estaba tan emocionado por su hallazgo que olvidó vestirse. Según el relato, en la calle gritaba "¡Eureka! (¡Lo he encontrado! ) de esa mirada activa y ocurrente de un hecho cotidiano nació el famosísimo principio de Arquímedes.
Esa es la mirada que necesitamos promover y desarrollar en el aula. Una mirada activa y participante en la resolución de los problemas. Para eso, nada mejor que estimular el pensamiento creativo y generar situaciones significativas, desafiantes y convocantes. Situaciones de acción surgidas de lo habitual, utilizando material concreto o proponiendo simulaciones.
¿Nos ponemos a pensar juntos? ¿A ver quien es el próximo que grita EUREKA en el 34?
Muy Buena semana
MAJO

martes, 9 de agosto de 2011

¿Yo soy un bicho raro?



Matemática…¡Uf..qué difícil! - siempre me dicen lo mismo.
La palabra "matemática" , viene del griego μαθηματικά, «lo que se aprende», es curioso ; pero este significado se contrapone a musiké «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, música y otros.
Desde el principio, parece que la Matemática se asoció con un conocimiento al que sólo puede accederse tras haber sido instruido, tras conocer “los secretos” de la astronomía, la geometría, o la aritmética y yo creo que desde ahí viene el estigma…Hay secreto, esfuerzo, entonces es difícil.
Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido, en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Donde la utilización del adjetivo mathēmatikós,  se impone en el sentido de aquello "relacionado con el aprendizaje" y posteriormente su asociación con lo escolar. Así que el esfuerzo, encima hay que hacerlo en la escuela.
¿Pero en verdad  existen saberes a los que uno puede acceder simplemente, sin esfuerzo y otros que no? ¿Algunos se aprenden por placer y otros para padecer?
Desde chica, asocio todo con matemática, sin hacer ningún esfuerzo; sin embargo me cuesta muchísimo escribir y además canto pésimo- diría que ladro- pero los pobres caninos no tienen porque ser comparados conmigo.
Así que debo ser un bicho raro, lo que socialmente se logra con esfuerzo a mi me surge  en forma natural y lo simple, me cuesta.
La realidad es que todas las personas somos diferentes, todos tenemos distintas habilidades. Howard Gardner habla de inteligencias múltiples, es nuestro desafío como docentes ayudar a encontrar en cada uno de nuestros alumnos esas habilidades y ser capaces de  “abrir esas puertitas” para que por allí  se asomen los saberes matemáticos
De ahí viene mi locura con asociar la matemática a todo: relacionarla con la naturaleza, con la fotografía, con la música y las artes visuales. Encontrar la matemática no solo en el aula y en los libros “que hay que aprender”, sino en lo cotidiano, en lo que sentimos como simple, en lo que nos produce placer.
No es simple; pero a esta altura, estoy casi segura que nada es simple. De hecho, estoy haciendo el esfuerzo de escribir porque a mí me encanta la matemática. ¿Alguien me podrá ayudar a cantar? 

lunes, 8 de agosto de 2011

Zumbidos matemáticos: las abejas



Desde chicos, a todos nos llaman la atención las abejas. Sabemos que las pequeñas abejas son insectos que viven en sociedades comunitarias altamente complejas, con un sistema de división del trabajo organizado por castas o "tipos de abejas". Por eso decimos que son gregarias.


En la colmena la abeja reina tiene la función de reproducción y las abejas zánganos (machos) cumplen la función de fertilización de la abeja reina. Por su parte, las abejas obreras son abejas femeninas, cuyas labores incluyen la limpieza, mantenimiento y defensa de la colmena, cuidado de los jóvenes y recolección de néctar y polen. Cada casta de abejas tiene un tiempo o ciclo de desarrollo diferente propio para cada especie y se cría en distintos tipos de celdas.  
Pero esta característica de las abejas, no es la que más sorprende a los científicos. Lo extraordinario, es que las abejas poseen la capacidad, programada en sus genes, de optimizar determinadas figuras geométricas. Dicha optimización matemática fue constatada por Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en que la forma hexagonal de las celdillas de los panales no es arbitraria sino la más apropiada para guardar la miel.  ¿Pero...porqué?  Veamos un poco.... 


Al almacenar la miel, las abejas deben que resolver un  problema: necesitan guardarla en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, (algo que en matemática llamamos teselaciones o teselados) con objetivo de aprovechar el espacio al máximo; pero de todas las posibles figuras geométricas las abejas escogieron el hexágono, no en forma azarosa, sino que se fundamentaba en lo que podría denominarse una lógica matemática. 


El matemático Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran mas área aquellos que tengan mayor número de lados. De hecho, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, con un número infinito de lados. 

Entonces ¿Porqué entonces no son cilíndricos los panales?

Como vemos en la figura, un círculo deja espacios cuando se rodea de otros círculos. Así, de todas las figuras geométricas que cumplen la condición “mayor número de lados y adyacencia sin huecos”, para la matemática es el hexágono la más óptima. Aunque para las abejas esto es verdad desde su nacimiento. Conozcamos un poco más sobre ellas...






No les parece maravillosa e increíble la construcción de esos panales....
Esta mañana decíamos con las chicas de segundo año que además de ser perfectamente regulares ¡Esos hexágonos estan hechos sin compás! ¿Cómo será la técnica que usan..? ¿Serán los únicos animales matemáticos?
Eso se los dejo para investigar a Uds. pero yo creo que no....


Buena semana y nos leemos, cariños
MAJO


sábado, 6 de agosto de 2011

Las Musas Comunicativas...enseñan

Creo que Educar es Comunicar. (Gaby D'Angelo..sos mi musa, perdón por lo que sigue!)
Comunicar utilizando cualquiera de las formas del diálogo: en forma sincrónica o asincrónica, entre pares o con su/s profes y cualquier medio técnico disponible  que permita fluir la interacción en la tríada ALUMNO-PROFE-SABER. Esa es la esencia del enseñar.
Hoy tenemos a disposición valiosos recursos de orden técnico (plataformas, blogs, twitter..) lo cual nos permite dinamizar una interacción que históricamente fue propia del aula, potenciándola increíblemente y generando una comunicación multidireccional. Estos nuevos entornos, favorecen el intercambio, el debate, el aprendizaje colaborativo y la construcción de aprendizajes formales e informales. No quiero ser reiterativa; pero esa fue la razón por la cual cree este espacio. La intención de las  Musas matemáticas  es que nos inspiren hacia un aprendizaje creativo de la matemática y su inculturación. 

 Veamos que dice Ramón Flecha:

Me sumo a sus dichos y amplío los conceptos del video:¡Nos permite a todos ser ayudados por los demás!
Mmm...¡Ya se me ocurre una actividad para  iniciar el segundo cuatrimestre en el profesorado!

Este cambio en las herramientas, generan cambios en las estrategias de enseñanza, en rol del docente, en las estructuras de organización , etc. ; pero hay un aspecto esencial que creo, permanece constante en ambos espacios:  la importancia del diseño didáctico.
Y eso no es una pavada: ¿Tiene sentido una super plataforma vacía de contenidos o con contenidos "impertinentes", o de baja calidad? ¿O sin una intervención tutorial adecuada?¿O sin actividades convocantes que promuevan aprendizajes activos y prospectivos? ¿O utilizando estrategias que no guíen sino que confundan ?
Me parece que la mirada didáctica es fundamental en estos nuevos tiempos hiperconectados. No hay cambio posible sin un cambio en la mirada didáctica....por más tecnología que pongamos en el aula.
¿Seguimos pensando juntos?
Buena semana
MAJO

miércoles, 3 de agosto de 2011

Matemágica...


Hoy hablábamos con  mis compañeros de escuela, sobre los "juegos matemágicos" y la sorpresa que provocan. Por eso , se me ocurrió este post, para ir pensando actividades para el aula  PREDICCIÓN PAR / IMPAR
INSTRUCCIONES
Piensa un número entre 5 y 10 (ambos incluídos). Llamémosle X.
De una baraja, extrae X cartas.

Reparte el resto de las cartas en X montones (de cualquier forma, sin importar el  N° de cartas en cada montón).

Reparte todas las cartas de uno de los montones entre los demás (sin importar el N° de cartas  en cada montón).


Cuenta el número de cartas que contiene cada montón.

Inexplicablemente, hay un número IMPAR de montones que contiene un número PAR de cartas.


Versión de Michael Daniels de un efecto debido a Ken Véale Publicado en The Pallbearers Review, Vol. 9. (L & L Publishing, Tahoma, CA.)


EXPLICACIÓN
Como la baraja contiene un número par de cartas, tenemos dos posibilidades:

1) Si el número pensado es impar, al final del proceso habrá un N° par de montones formados por un N° impar de cartas. Para que la suma de una cantidad par de números sea impar, debe haber una cantidad imparde N°impares.

2) Si el número pensado es par, un razonamiento similar nos lleva a considerar una cantidad impar de números cuya suma es un número par. O todos los números son pares, o hay una cantidad par de números pares. El resto serán impares.







LA LUNA ROJA

1. Cada espectador tiene ocho cartas, siete negras y una roja.

2. Mezcla cara arriba las ocho cartas. Bien mezcladas.

3. Reparte las cartas sobre la mesa en dos montones, alternativamente a la derecha y a la izquierda y fíjate bien en qué montón está la carta roja, pero no me lo digas.

4. Mezcla el paquete que contiene la carta roja, vuelve a dejarlo sobre la mesa y coloca el otro paquete sobre él5. Vuelve a repartir sobre la mesa dos montones de forma alternada y vuelve a fijarte en qué montón está la carta roja. No  des ninguna pista.

6. Mezcla el paquete que no tiene la carta roja y colócalo, caras abajo, sobre el otro. Parece imposible saber cómo están las cartas y, en efecto, es imposible.

7. Reparte por última vez dos montones sobre la mesa, alternativamente a derecha e izquierda.

8. Coloca el paquete que no tiene la carta roja sobre el otro (sin voltear las cartas).

9. Recoge todas las cartas y gira todo el paquete.

10. Ahora cierra los ojos y deja fluir tu subconsciente. Separa la primera carta y sóbala un poquito. ¡No, apártala! No es tu carta.

11. Separa la siguiente y manoséala también. ¡No la mires! Tampoco es la que buscamos.

12. Separa la siguiente.

¡Sí, siento que sientes algo especial! ¡¡ES LA CARTA ROJA!!



EL JUEGO DE LAS 6:20

Para comprobar la importancia del tiempo en el éxito de cualquier actividad, espera a las 6:20 para empezar la ilusión que proponemos este mes.

1. Para este experimento necesitaremos una baraja francesa. 

2. Extrae de la baraja seis cartas cualesquiera.

3. Reparte las demás en dos montones sobre la mesa caras abajo, alternativamente una a la derecha y una a la izquierda.

4. De las seis cartas separadas, escoge una y recuérdala. Intentaré adivinarla.

5. Coloca la carta elegida sobre uno de los dos montones y las otras cinco encima del otro montón.A continuación, coloca este montón sobre el que contiene la carta elegida.

6. Mira ahora el reloj. Deben ser las 6:23. Suma 6 + 23 = 29 y busca la carta que ocupa el lugar 29. ¿Es la carta elegida?


OBSERVACIONES. El juego puede hacerse con baraja española. Hay otros momentos del día que también son propicios para que el juego resulte. ¿Podrás encontrarlos?


A CIEGAS Busca una baraja francesa (de esas que tienen los palos de picas, rombos, corazones y tréboles).

1. Elimina de la baraja 10 cartas. Éstas ya no las usaremos.

2. Mezcla el resto de la baraja. Una vez hecho, saca la primera carta y déjala sobre la mesa, cara arribaSobre ella coloca tantas cartas como sea necesario para llegar a trece. Por ejemplo, si la primera carta es unsiete, vete colocando sobre ella cartas mientras cuentas ocho, nueve, diez, J, Q, K. En total habrás colocado seis cartas sobre la primera.

3. Repite el procedimiento anterior con la siguiente carta de la baraja, formando un nuevo montón sobre la mesa.
4. Si la primera carta que repartes es una K, no debes colocar ninguna sobre ella. Ese montón estará formado por una sola carta. Si es un as, colocarás doce cartas sobre ella.

5. Cuando no queden suficientes cartas para completar un montón, deja las cartas restantes en tu mano.

6. Gira caras abajo todos los montones y escoge tres de ellos. El resto lo colocarás sobre las cartas queguardas en la mano.

7. Gira la carta superior de cualquiera de los tres montones y descarta de la mano tantas cartas como indica su valor.

8. Repite el proceso con uno de los dos montones restantes. Por último cuenta el número de cartas que te quedan en la mano.


Si la magia existe, dicho número coincidirá con la carta superior del tercer montón de la mesa. ¿Cierto?

¿Sabes por qué funciona el truco? ¿Podrías adaptarlo a la baraja española?



En esta ocasión, vamos a realizar un viejo juego de magia. Con él podré predecir el resultado de una sencillaoperación algebraica iniciada con la fecha de tu cumpleaños. Piénsalo un poco y llegarás fácilmente a la solución.



PIENSA UN MES  - (Efecto de Banachek basado en el de Bascom Jones y publicado en “Magick Magazine”.)


Como sabes, cada mes tiene un valo numéricor: Enero es el uno, Febrero el dos, y así sucesivamente.Piensa ahora en el mes de tu cumpleaños y recuerda su valor.

Ahora iré nombrando meses, y cada vez que lo haga, debes añadir uno al número pensado.En el momento que haya nombrado el mes de tu cumpleaños, debes detenerte.

Empezamos:

- Diciembre (súmale uno al número pensado).

- Noviembre (súmale uno más, si no te has detenido ya).

- Octubre (ídem).

- Septiembre (ídem).

- Agosto (ídem).

- Julio (ídem).

- Junio (ídem).

- Mayo (ídem).

- Abril (ídem).

- Marzo (ídem).

- Febrero (ídem).

- Enero (ídem).

Como comprenderás, no puedo saber el mes de tu nacimiento. Por tanto, tampoco sé en qué momento te has detenido. Sin embargo, puedo predecir algo,

¡TE HAS DETENIDO EN EL NÚMERO 13!

Podemos encontrar más trucos, en este link: Rincón Matemágico
¡Ahora, a jugar!SaludosMAJO