MateMAYA...lugar de encuentro

Chichen Itzá- Observatorio y Pirámide de Kukulcán

El aprendizaje es fruto del encuentro, del intercambio entre quienes desean aprender y enseñar. 

Por eso, hoy Musas es el espacio que alberga una reflexión fruto de mi encuentro con las Lic. Luisina Morano (antropóloga UBA)y Lic. Karen Avenburg (Antropóloga UBA), compañeras de trabajo en la "tresdelsiete" quienes generosa y animadamente aceptaron participar de este post "antropo-matemático" sobre la matemática del pueblo Maya.

Pese a que la “civilizadora” intervención de la iglesia católica incineró la mayor parte de los manuscritos mayas, todos escuchamos alguna vez sobre la grandeza de sus conocimientos científicos. Son famosos sus desarrollos en astronomía, arquitectura y sobre todo, su matemática; por tal razón un grupo de matemáticos, educadores e investigadores españoles, italianos y mexicanos han propuesto su reconocimiento ante la Unesco como patrimonio intangible de la Humanidad.

Si bien la mayoría de estos saberes estaba en manos de su casta sacerdotal, parte de estos conocimientos se divulgó entre la gente común y gracias a la tradición oral se mantuvo hasta nuestra época. Es así como todavía algunas personas en Yucatán aplican una técnica de multi plicación utilizando piedras sobre una superficie plana que les permite calcular un producto sin necesidad de memorizar ninguna de esas/ nuestras martirizantes tablas de multiplicar.

Los mayas tenían un sistema de numeración de base 20. La unidad se simbolizaba con un punto, al alcanzar cinco puntos se los reemplazaba con una raya y cada cuatro rayas (20 unidades) se colocaba un punto en la casilla superior del tablero y una conchilla (el cero) en el nivel inferior. El valor de esos puntos, rayas o conchillas no siempre es el mismo,  es relativo,  depende del nivel o posición en que se encuentre ubicado en el tablero y por eso a  este tipo de sistema de numeración se lo denomina posicional. 

El tablero, una grilla con desarrollo vertical, es un objeto plagado de significaciones relacionadas con la cosmovisión maya. Representa, en un sentido místico, la urdimbre del universo; el campo donde se suceden los hechos que transfor- man el tiempo y el espacio, y el lugar donde se asienta el conocimiento humano. Por eso, al comprender su función y hacer uso de ella, se manifiesta como una figura que, de forma simbólica, ejemplifica el orden y equilibrio de todo cuanto existe. Como hemos dicho, el sistema maya era posi- cional, como nuestro Sistema de Numeración Decimal y eso facilitó mucho su utilización en el cálculo, de hecho los Mayas contaban con ábacos que les permitían realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

A-Bak' Maya

En el   marco de la historia de la matemática, el uso del cero para la escritura de números en un sistema  posicional constituye un verdadero hito. Se considera que los olmecas inventaron este concepto matemático aproximadamente en el 1200 A.C., siendo los primeros en abordar tanto el concepto como el símbolo 0 en la historia de la humanidad. Tal invención anticipó por seis   u  ocho siglos los  logros  filosófico - matemáticos de los griegos,  aunque la civilización griega no llegó a tener un sistema numérico de valor posicional. Pero, no solo desde el punto de vista matemático es importante el cero, filosóficamente los mayas concebían al óvalo 0 como forma dialéctica de fin y principio (fin de cuenta en un nivel y principio en el siguiente) para ellos no representaba la inexistencia sino todo lo contrario, era un símbolo de plenitud y completitud..queria decir que la veintena estaba completa!!
Es interesante que la UNESCO reconozca estas producciones intelectuales como patrimonio intangible de la humanidad, pero también es más interesante que nosotros, los americanos  lo volvamos “tangible” reconociendo estos saberes como parte de una herencia que nos toca y que ha persistido más allá y más acá de las voluntades conquistadoras y colonizadoras...

Escuchamos mil veces una hipótesis (sacada de la galera) que proclama que “América Latina” vive en una suerte de “atraso” respecto de Europa; porque acá no se inventó "nada”, porque la “civilización nació en Grecia”porque llegamos tarde y mal, hace apenas 500 años, a formar parte de “la Historia” y todo gracias a que los españoles que “descubrieron” América.  Hace tiempo,un antropólogo e historiador llamado Eric Wolf elaboró una tesis con una idea básica  que  ahora parece una gran obviedad, pero que quizás no lo es tanto. Su idea era la  siguiente la historia de América no empieza cuando llega Colón;   antes ya había historias y muchas..había sociedades de diversas formas y dimensiones, había producciones científicas, astronómicas, artísticas,había guerras y acuerdos de paz, había varios sistemas sociopolíticos  coexistiendo... el asunto es en su mayoría transmitían sus memorias y saberes de forma oral, y  los  que  tenían  escritura, por supuesto no escribían en castellano; pero  ¡Qué tremendo reduccionismo si pensamos que sólo por eso esas gentes “no tenían historia(s) ”!

Es sin duda positivo que la UNESCO reconozca las “Matemayas” como patrimonio intangible de la humanidad porque es parte de un reconocimiento, por parte de la “sociedad occidental”, del profundo valor de las memorias y saberes, prácticas y representaciones, de las múltiples sociedades que, de forma muchas veces cruentas, fueron dominadas, discriminadas e invisibilizadas.Sería más valioso aún que también nosotros volvamos la mirada hacia América y nos apropiemos de esos legados, no ya como algo “exótico” de un mundo “acabado”, sino como los valiosos aportes de las sociedades que viven, cambian y son parte integrante (aunque muchas veces subordinada) del mundo global que, para bien o para mal, todos integramos.
Desde ese lugar, esta semana en Musas queremos proponer que este legado sea nuestro espacio de encuentro y aprendizaje mutuo, valorizando el intercambio como un momento fundamental del aprender. Por eso los invitamos a todos a participar con sus comentarios....Así, Somos más. Aprendemos más. Somos una red.


Como siempre, muy buena semana.
MAJO

Proble+

Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay una pizca de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Tu problema puede ser modesto, pero si es un reto a tu curiosidad y trae a juego tus facultades inventivas, y si lo resuelves por tus propios métodos, puedes experimentar la tensión y disfrutar del triunfo del descubrimiento.George Pólya

En mi clase de mañana con los chicos del profesorado vamos a reflexionar acerca del aprendizaje y la resolución de problemas.

La verdad, creo que lo más difícil antes de resolver un problema, es el reconocer su existencia. Eso hace que uno ponga todas sus energías e intente resolverlo, por eso pienso… ¿Mis alumnos, futuros profesores, creerán que es un problema enseñar a resolver problemas o no?

Más allá del trabalenguas, acá lo que está en cuestión es la necesidad de realizar un cambio metodológico a la hora de enseñar matemática o no.

Por eso, me parece interesante arrancar con esta pregunta:

¿Por qué es necesario enseñar a resolver problemas y que tenemos que considerar al hacerlo?

Voy a empezar con algunas razones sencillas y los invito a agregar en sus comentarios algunas más jugosas:

·         Nuestra vida cotidiana nos presenta a diario los más variados problemas, así que los alumnos necesitan capacitarse no sólo en resolverlos sino también distinguir cuales valen la pena resolver.

·         Cuando ya resolvimos una vez cierto escollo, ya no representa un problema para nosotros…¿Por qué en la escuela estamos solos intentando resolver algo que nunca antes hicimos? Si en la vida real, los problemas habitualmente se resuelven en grupo o al menos se consulta con otras personas.

·         La mayoría de los problemas cotidianos no tienen una serie única de pasos para su resolución, ni siquiera tienen toda la información necesaria, por eso se los denomina mal estructurados. Si durante nuestras clases presentamos pseudos-problemas con una “receta” explicita y única para su solución  ¿Cómo luego podrán los alumnos resolver “sus verdaderos problemas”? Mejor enseñar una secuencia de pasos que nos ayuden a resolver problemas, por ejemplo los de Polya

·         Los problemas escolares suelen estar descontextualizados, incluso suelen tener una única solución. Mientras que los problemas del mundo real están atravesados por numerosas variables que pueden condicionar sus posibles y múltiples soluciones: los costos, el tiempo, las distancias... En clases todos estamos muy seguros de la respuesta correcta; pero en la vida real no siempre está claro cual es la mejor solución. De hecho, la solución de un problema no siempre es definitiva, los problemas reales pueden tener diversas dimensiones en incluso modificarse de acuerdo a la perspectiva de quien los resuelva o evalue…

 

El desafío  no solo es seleccionar esos problemas..

 

Tanto para los profesores como para los alumnos, los desafíos a abordar son muchos, no solo elegir los problemas y plantearlos en secuencia (lo que no es poco). Para empezar a resolver problemas, es importante generar un clima en el aula propicio para la interacción, la discusión, la reflexión crítica y el manejo del error. Tenemos que estar dispuestos a contener y guiar a alumnos acostumbrados a que se les diga exactamente qué es lo que deben hacer, a valorar más el proceso que la respuesta correcta, a comprender que el razonamiento, surge como un proceso social que se internalizar solo después de haberse sido expresado e interactuado socialmente y finalmente entender que los alumnos van a aprender a pensar y resolver problemas no porque les hayamos enseñado bien sino porque se les facilitamos los medios adecuados que propiciaron su propio aprendizaje.

Por eso, chicas y chicos...allá vamos, tomemos el desafío de plantear y resolver problemas!!!  Espero sus comentarios. Muy Buena Semana a todos

MAJO

Tras las pistas de la matemática y la comunicación

Nos encontramos otra vez hablando de nuestro amigo Peirce, quien concibió a los signos como tríadas. Si bien este lógico realizó muchísimas clasificaciones de los signos, la más conocida y utilizada es la que divide a los símbolos en iconos, índice y símbolos. En esta entrada vamos a retomar esta clasificación para hablar de los índices. ¿Vieron que tenemos un dedo que se llama índice? Bueno, pensemos por un segundo a qué se debe este nombre. Efectivamente vamos a deducir que nuestro dedo índice se llama así porque lo utilizamos para indicar o señalar (en este momento los imaginamos a todos los lectores de esta entrada levantando sus índices y señalando algo). El índice es además de una señal una guía, porque lo que nos dice es cómo llegar a otra cosa. Es el GPS de los signos. 

Los índices pertenecen al ámbito de la Segundidad” que para Peirce es el modo de significación de lo que es tal como es, con respecto a algo más, pero sin referencia a un tercer elemento; la Segundidad es efecto, es actualidad, es lo que es “aquí y ahora”. Eso en comunicación, pero también los índices son una valiosa herramienta matemática. Mediante el uso de índices y tasas, la matemática permite generar relaciones, ecuaciones entre distintas variables y gracias a eso, el resto de las ciencias pueden investigar diferentes fenómenos utilizando el método es un cuantificador o cualificador del fenómeno o científico. Para los matemáticos, entre otras cosas, un índice es un aspecto que se desea evaluar. Por eso, se lo construye en función de las variables más relevantes involucradas en dicho fenómeno y se pondera el grado de incidencia en el mismo. ¿Y eso para que sirve? En principio, para guiarnos a entender lo que está sucediendo, para permitirnos ver el aquí y ahora; pero también para ayudarnos a poder proyectar el más allá. Otros significados de índice pueden consultarse acá y se darán cuenta de la cantidad de veces que usamos esta palabra y para cuestiones de lo más diversas

Veamos estos ejemplos:

En esta imagen no vemos fuego pero el humo es claro índice de que hay un incendio en ese edificio.

En esta otra imagen una huella de un pie humano que es índice de que una persona pasó por allí.

Como indicadores del desempeño escolar, se utilizan los índices de promoción efectiva, repitencia y abandono. El análisis de estos índices, brinda una valiosa información acerca del comportamiento académico de los estudiantes y su recorrido escolar. Por ejemplo:
El Indice de promoción es el porcentaje de alumnos que se matriculan en el año de estudio siguiente para  próximo año lectivo.
El Indice de repitencia es el porcentaje de alumnos que se matriculan como repitentes en el año lectivo siguiente

Veamos el Cuadro de Tasa de Repitencia del Ciclo Básico - 2008/9

Si observamos el cuadro atentamente nos podemos percatar que el Total Nacional del Indice de Repitencia en la Gestión Estatal casi triplica el de la Gestión Privada. ¿Sorprendidos? Nuevamente, no vemos el fuego; pero aquí, el humo presagia un incendio...

Cuadro de índices de promoción, repitencia, y abandono a través del tiempo

Viendo este cuadro podemos advertir cuán superior es la diferencia de repitencia en el ciclo básico, mientras que el abandono interanual aumenta notablemente en el ciclo orientado... ¿Algo está indicando, verdad? ¿Alguien interpretará estos índices y buscará resolver los problemas que señalan?

El siguiente es un mapa educativo:

Mapa Educativo de Argentina- Tasa de Repitencia Secundaria 2006/2007

Se han coloreado las provincias en degradé, de acuerdo al ascenso (violeta) o descenso (verde) del índice de repitencia analizando la década 1996/7 a 2006/7. Otra vez, nos volvemos a sorprender...

Más allá de la sorpresa, la cuestión es poder leer estos índices, interpretar las pistas que los números nos comunican, que hacen visibles los fenómenos educativos y nos otorgan una información indispensable para la toma de decisiones en política educativa, que traducidas en acciones permitirá producir transformaciones en el ámbito de la gestión.

Nos gustan los índices por muchos motivos: al toro por las astas le gustan porque lo remontan a la adolescencia despreocupada en la que amaba leer novelas policiales plagadas de pistas, que no son otra cosa que índices, y donde lo único que le impedía dormir era seguir leyendo para descubrir quién era el asesino. Ansiaba llegar a la parte donde con el corazón detenido y poniendo a prueba su capacidad  detectivesca, leía  la frase: “El asesino es...”. Hoy, en cambio, a la musa matemática la desvelan y preocupan seriamente que se interpreten en forma adecuada los índices de pobreza e inflación, promoción y repitencia y que luego se propicien acciones que permitan revertir las desigualdades...
A esta Pareja Pedagógica no le gusta que se manipulen las estadísticas a piacere ¿Y ustedes creían que los índices eran poca cosa?

Gauss, el principe

La matemática es la reina de las ciencias,

y la aritmética la reina de las matemáticas. Gauss

          

                       

Algunos dicen que Arquímedes, Newton y Gauss son los mayores genios de la historia de la Matemática, es discutible….cada uno de nosotros tiene sus favoritos; pero es bueno conocer más sobre ellos, por eso hoy en musas nos dedicaremos a recorrer la vida del príncipe, Carl Gauss.

Es bastante difícil ser sintéticos en este caso, ya que  hizo aportes en todos los campos de la matemática; pero también de otras ciencias... Casi podríamos decir que todos los grandes descubrimientos científicos del siglo se encuentran de algún modo relacionados con Gauss.

Carl, un príncipe de los números.

Johann Carl Friedrich Gauss nació en Alemania, un 30 de abril de 1777, en una familia muy pobre. Desde  pequeño, Carl mostró su talento. Aprendió a leer solo, sin que nadie lo ayudara y casi lo  mismo sucedió con el cálculo mental: a los tres años corregía las cuentas que hacía su papá.Con siete años ingresó a la escuela en Brunswick, donde se desarrolla una de sus anécdotas más famosas,aunque nunca sabremos si es cierta o no.

Dicen que su profesor propuso sumar los números desde el 1 al 100, Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo "Ligget se, 5050!" (ya está, 5050!). Asombrado por la velocidad, el maestro revisó las soluciones al finalizar la hora, y advirtió que la respuesta del niño Gauss era correcta, posiblemente ese profesor fue el primero en descubrir que frente a él había un genio. Siempre que recuerdo esta anécdota me pregunto: ¿Qué habrá pensando ese maestro? ¿Habrá sentido satisfacción o miedo al desafío? ¿Cómo actuaríamos nosotros en ese lugar? ¿Cuántos sentimientos nos movilizan las actitudes de nuestros alumnos, verdad?

Otro de sus profesores, Batels, consiguió presentar a Gauss al Duque de Brunswic,  quien a partir de ese momento, se encargó de subvencionar su educación. En principio, en el colegio Carolino, donde estudió durante tres años, conoció la obra de Euler, Lagrange y, sobre todo, los Principia deNewton. Para esa época ya había descubierto su ley de los mínimos cuadrados, lo que indica su temprano interés por la teoría de errores de observación y su distribución. Antes de cumplir los 19 años, Carl consiguió la construcción de un polígono regular de 17 lados con regla y compás, como se exigía en la Geometría desde Grecia.

El gran demostrador…

Gauss no sólo logró la construcción del polígono sino que también encontró la condición que deben cumplir los polígonos para poder construirse por ese método: El número de sus lados debe ser potencia de dos o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado números primos de Fermat.Él demostró este teorema combinando un razonamiento algebraico con otro geométrico. La técnica utilizada para esa demostración, se ha convertido en una de las más usadas en matemática: trasladar un problema desde un dominio inicial (la geometría en este caso) a otro (álgebra) y resolverlo. Para su tesis doctoral en la Universidad de Helmstedt, Gauss dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra.

Quizás la mayor obra publicada por el príncipe sean las Disquisitiones Arithmeticae de 1801,  tan importantes para la teoría de números como los elementos de Euclides para la geometría. Y Ni hablar del aporte de Gauss a los números complejos… Mientras que durante el Renacimiento se endilgaron a estos números propiedades mágicas, aprovechando el trabajo de Euler, Gauss los instaló y empleó como objetos matemáticos. Él ideó representarlos geométricamente mediante puntos en el plano, demostró que las soluciones de cualquier ecuación algebraica pertenecerían a este conjunto y  elaboró un método para descomponer los números primos como producto de números complejos. En 1811 fue el primero en demostrar el hoy llamado, teorema del valor medio generalizado de Cauchy, aunque nunca llegó a publicarlo. Como si todo esto fuera poco,  sus anotaciones hacen ver que Gauss fue uno de los primeros en  pensar en la existencia de una geometría en la que no se verificase el axioma de las paralelas… las geometrías no euclidianas. Realmente una obra inmensa.

Una estrella..

A partir de aquí las matemáticas puras dejan de ser el único objetivo para Gauss y comienza a interesarse por la astronomía, dedicándole la mayor parte de su tiempo durante 20 años. El descubrimiento del "nuevo planeta enano", llamado posteriormente Ceres, el primer día del siglo XIX por el astrónomo Giuseppe Piazzi, sedujo enormemente al este joven matemático. Como era necesario determinar con exactitud la órbita de Ceres para ponerlo de nuevo al alcance los telescopios, Gauss tomó ese reto y Ceres fue redescubierto un año después, en el lugar que él había predicho con sus detallados cálculos. Con este video podemos comprender mejor la idea  conocer más de su historia:

Su técnica consistió en demostrar como las variaciones en los datos de origen experimental podían comprenderse a través de una distribución normal cuya representación es una curva acampanada, conocida como campana de Gauss. Parecido éxito tuvo en la determinación de la órbita del asteroide Pallas, teniendo en cuenta en sus cálculos, las perturbaciones producidas por los otros planetas del sistema solar. 

En 1807 fue nombrado director del observatorio de Göttingen y en 1809 publicó su segunda obra maestra, Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor del Sol en secciones cónicas. La única obligación como director del observatorio era dar cursos de matemática a los estudiantes de la Universidad, pero parece que la paciencia y el placer por enseñar no era uno de los puntos fuertes de l Sr. Gauss, quien solamente disfrutaba de tener buenos matemáticos como alumnos. Así, cabe la reflexión: Muchas veces el mejor matemático no es el mejor profesor… son dos cosas diferentes, ya que enseñar matemática es verdaderamente un arte!!

Deseandoles una muy buena semana, me despido.

MAJO