Pitagóricos I

Todo es número

Pitágoras 

Previo a una serie de post sobre Pitágoras, comparto con Uds.  esta nota de Nota de Claudio Sánchez del Suplemento Futuro- Página 12, dedicada especialmente a los colegas de Música y porque si hay algo propio de las musas es  justamente la música, por muy matemáticas que sean.

Saludos

MAJO

El Tambor de Pitágoras

En música hay conjuntos formados exclusivamente por instrumentos de viento, como trompetas, flautas o clarinetes. También hay conjuntos formados exclusivamente por instrumentos de cuerda: violines, violas o guitarras. Pero no hay, al menos no en la llamada música occidental, conjuntos formados exclusivamente por tambores.

Es posible tomar una partitura escrita para flauta y ejecutarla en violín. Y viceversa. Pero, en general, no es posible ejecutar sobre tambores una pieza escrita para guitarra, violín o trompeta.

Esta discriminación en contra de los tambores tiene una base física. Cuando se pulsa una cuerda, el sonido que oímos es, en realidad, una mezcla de sonidos. Hay un sonido principal, o tono fundamental y, superpuestos a él, otros sonidos, más débiles y agudos, llamados armónicos o sobretonos. Puede comprobarse experimentalmente que la frecuencia de estos sobretonos es un múltiplo simple del tono fundamental.

La frecuencia es la velocidad con la que vibra el sonido y determina cuán grave o agudo es: más alta la frecuencia, más agudo el sonido; más baja la frecuencia, más grave el sonido. Por ejemplo, la nota La estándar, usada como referencia al afinar instrumentos, tiene una frecuencia de 440 hertz. Es decir, vibra cuatrocientas cuarenta veces en un segundo (por eso la banda que acompañó a Juan Luis Guerra en el comienzo de su carrera se llamaba La 440). Si una cuerda da un tono fundamental de 440 hertz, el primer armónico será de 880 hertz (el doble), el siguiente de 1320 (el triple) y así sucesivamente. Para nuestro oído, estos sonidos se acoplan musicalmente y “suenan bien”.

El efecto es parecido cuando se hacen sonar simultáneamente dos o más cuerdas. El sonido conjunto es musical y suena agradable al oído cuando la frecuencia de las cuerdas se relacionan a través de números sencillos: cuando el sonido de una tiene una frecuencia doble del de la otra, o triple, o dos tercios a algo similar. Si las frecuencias están en una relación más compleja, por ejemplo, de 13 a 17, el sonido resultante no es tan claro y definido, y “suena mal”.

LAS MATEMATICAS DE LA MUSICA

Se dice que esto lo descubrió Pitágoras (el mismo del teorema). Según la leyenda, al pasar por una herrería, Pitágoras escuchó el sonido que hacían los herreros al golpear sobre los yunques. Por alguna razón, ese concierto de martillazos a veces sonaba musical y a veces no.

Al volver a su casa, Pitágoras comenzó a experimentar con cuerdas de distinta longitud y encontró que el sonido musical se obtenía cuando la relación entre sus longitudes se expresaba mediante números pequeños: una el doble de largo que la otra, o el triple, o dos tercios o alguna relación similar. Como la frecuencia de los sonidos que emite una cuerda depende, a igualdad de otras condiciones, de su longitud, lo que Pitágoras había encontrado es la relación de frecuencias que, sabemos ahora, definen el carácter musical de un sonido.

A Pitágoras le impresionó tanto que una relación numérica permitiera definir algo tan subjetivo como la diferencia entre el ruido y la música que parece que fue ahí cuando dijo que “los números gobiernan el mundo”. Por lo menos, gobernaban la música. No es casual que, en la antigua Grecia, la música fuera una rama de la matemática, junto a la aritmética, la geometría y la astronomía.

Esto que se ha dicho para las cuerdas vale también para los instrumentos de viento. Y eso es porque, en ambos casos, lo que suena es un elemento lineal, de una dimensión: en el caso de los instrumentos de cuerda, una cuerda; en el caso de los de viento, una columna de aire. En los elementos de una dimensión se cumple la condición de que el tono fundamental y los armónicos tienen frecuencias que se relacionan mediante números sencillos. En los tambores, en cambio, lo que suena es un parche, un elemento de dos dimensiones. Cuando suenan, los parches también producen una mezcla de sonidos con un tono fundamental y una familia de armónicos. Pero las frecuencias de estos sonidos no guardan una relación numérica sencilla. Para una membrana circular, por ejemplo, el primer armónico tiene una frecuencia que es 1,59 veces la del tono fundamental.

Como no aparece aquí la relación numérica simple que sí se da en los instrumentos de cuerda y de viento, los tambores no producen un sonido “limpio”, “definido” o “musical”. Por eso, salvo excepciones, juegan un papel secundario o de apoyo en la llamada música occidental, basada en las observaciones de Pitágoras.

LA CUESTION DE LOS TIMBALES

Lo dicho acerca de los tambores y su papel menor en la música occidental tiene por lo menos una excepción: los timbales. Este instrumento aparece a menudo en grandes obras de la música clásica. Tanto Bach como Beethoven escribieron muchas obras que requieren timbales para su ejecución. En la Misa de Réquiem, de Berlioz, participan dieciséis timbales operados por diez timbaleros.

Esta excepción a favor de los timbales también tiene una justificación física. Normalmente, un parche como el de un timbal debería emitir armónicos de frecuencias de entre 1,59 y 2,14 veces mayores a la del tono fundamental, respectivamente. Sin embargo, el aire encerrado en la caja del timbal retarda la vibración del parche, de modo que las relaciones entre las frecuencias de los armónicos y la del tono fundamental pasan a ser de 1,5 y 2, relaciones sencillas que dan un sonido musical, agradable al oído, según el criterio descubierto por Pitágoras.