¿Quién es PI?

Hoy quiero dedicar mi post a los chicos de segundo año de "la tres del siete" , porque siempre hablamos de PI; pero ¿Quien es?

Se lo define como el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Esto quiere decir, la cantidad de veces que el diámetro está contenido en el perímetro.

Podemos calcular un valor aproximado a través de una simple experiencia casera, midiendo el perímetro de algún objeto cilíndrico y luego dividiendo el mismo, por el diámetro.
¿Cuánto les da? Si midieron con cierto cuidado, seguramente el resultado se aproxima a “tres y pico...”

Lo  curioso es que para todos los círculos, sean grandes o pequeños, la relación circunferencia y  diámetro,  es siempre la  misma PI. Un número tan especial que tiene infinitas cifras decimales no periódicas y hasta un nombre propio,  aunque ésto, como muchas otras cosas, no siempre se supo.

Desde hace aprox. unos 5000 años, el hombre ha utilizado  objetos que ruedan para ayudarse en sus tareas, por eso es muy probable que haya descubierto ese "3 y pico” hace muchos años, pues es imprescindible para calcular y resolver problemas que involucraran estos cuerpos.

Cuenta la historia, que los antiguos egipcios en el 1600 a. de C. ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede leerse lo siguiente:

"Corta 1/9 del diámetro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo área que el circulo".

Si llamamos A al área del círculo, ésta será igual a 8/9 del diámetro al cuadrado

     A=(8/9 d)^2

Como   d=2r entonces   A= 2r^2 x 64/81  = 4r2 x 64/81  = r2 x 256/81

Así vemos como  π adoptaba el valor 256/81, aproximadamente 3,16.  En Mesopotamia, más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban el valor 3,125 (3+1/8) según  la Tablilla de Susa.

Mientras que los geómetras de la Grecia clásica sabían que la razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre una constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera y el cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de "Los Elementos" de Euclides).

Fue Arquímedes en el siglo III a. de C. quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con π. Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo en una circunferencia, polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica aproximación para la época :

3+10/71 < π < 3+1/7

 es decir, el número buscado está entre 3,1407 y 3,1428

Podemos ver aproximaciones del número Pi, en: Aproximación de PI

A partir de éste principio, en el siglo II d. de C, Ptolomeo utilizó polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximar un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3,14166...
En China también se hicieron esfuerzos para calcular su valor. Liu Hui en el siglo III, utilizó polígonos de hasta 3072 lados para conseguir el valor de 3,14159, y Tsu Ch'ung Chi en el siglo V da como valor aproximado 355/113 = 3,1415929...
Los Siddhantas hindúes, que datan del 380 d. de C. registran a π con un valor 3 + 177/1250, que es exactamente 3,1416. Un valor de Pi muy aceptado y difundido.

Utilizando el método de Arquímedes, en el siglo XVI, el matemático francés Vieta usó polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse hasta 3,141592653 ; pero el mayor logro conseguido con este método se debe al matemático alemán, residente en Holanda, Ludolf van Ceulen que trabajó en el cálculo de π casi hasta el día de su muerte. Llegó a trabajar con polígonos de miles de lados para conseguir una aproximación de 35 cifras decimales. Su deseo fue que, después de su muerte, se grabará sobre su lápida el número con los 35 decimales calculados.
El siguiente avance teórico se atribuye a dos holandeses:  Willebrod Snell y Christian Huyghens , en el siglo XVII con cuyas fórmulas se obtienen  3.141566592 y 3.141697707 respectivamente, lo que da una idea de lo próximos que están a π.
Como vemos,  el número de lados necesarios para calcular 35 decimales con el método de Arquímedes es bastante considerable, y los nuevos métodos de Snell y Huyghens tampoco resultaron demasiado eficaces. El trabajo necesario para calcular más y más decimales empezaba a escapar a las posibilidades del ser humano. Pero nuevos métodos  estaban naciendo y empezando a crecer en las mentes de algunos matemáticos. Durante el siglo XVII empezaron a utilizarse las series, productos infinitos y fracciones continuas, y el cálculo diferencial de Leibnitz y Newton jugó un papel importante en todo ello.

En 1674 el alemán G. Leibnitz obtiene  la serie: π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 -...
pero presenta el mismo problema. Tienen que sumarse unos 19 millones de términos para conseguir 7 decimales correctos. Dejemos claro que el haber encontrado estas expresiones supone un gran mérito, aunque no son útiles en la práctica para calcular π con precisión.

La solución a todo debía ser una serie de convergencia rápida, sin elcálculo de raíces o expresiones  excesivamente complejas. John Machin encuentra una solución. Utilizando esa fórmula, él consiguió 100 decimales ¡Calculados a mano!
Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159  = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y al adoptarlo Leonard Euler, en 1737 lo convirtió en la notación habitual que se usa hasta nuestros días.

Así, se siguieron hallando cifras y cifras para Pi y obviamente nunca se halló su periodicidad. Pero una gran  diferencia surge con el diseño de la primera computadora, a partir de ahí se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π , que permitieron hallar grandes cantidades decimales. De esta forma, en 1949 con la ENiAC y rompiendo todos los récords, se obtuvieron 2.037 cifras decimales en 70 horas.

Lo último que sabemos, es que en Enero 2011, Shigeru Kondo, un ingeniero de sistemas japonés calculó el valor de “pi” con aproximación a cinco trillones de dígitos. Todo ello usando una computadora armada por él mismo.

Como podemos ver a través de esta historia, paradójicamente, el valor de Pi ha ido cambiando con el tiempo, aunque siempre ha representado lo mismo. Nunca se alcanzaran sus infinitas cifras; pero el hombre  desea estar cada vez más cerca.

Cosas de la matemática, ¿No?

¡Eureka!

Como vimos, si podemos decir que alguien ha sido inspirado por las musas, ése fue Arquímedes de Siracusa, un matemático griego, físico, ingeniero, inventor y astrónomo.

Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la antigüedad. Dentro de sus trabajos reconocidos se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.

Arquímedes es considerado uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia. Usó el método de exausción para calcular el área bajo el arco de una parábola mediante la sumatoria que aproximaba  una serie infinita de cada vez más pequeños rectángulos, y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi. También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar a como hoy los utilizamos en el cálculo integral. A través de la reducción al absurdo (reductio ad absurdum), fue capaz de contestar problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método de exhausción, y fue el sistema que utilizó para aproximar el valor del número π. Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta. Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 3¹⁰/₇₁ (aproximadamente 3,1408) y 3¹/₇(aproximadamente 3,1429), lo cual es consistente con el valor real de π. También demostró que el área del círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo.

Una de las anécdotas más conocidas sobre Arquímedes la narra Vitruvio y cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular.  Hierón II ordenó la fabricación de una nueva corona con forma de corona triunfal, y le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha sólo de oro o si, por el contrario, un orfebre deshonesto le había agregado plata en su realización. Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su masa y volumen, a partir de ahí, su densidad. Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la bañera cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría ser usado para determinar el volumen de la corona. Debido a que el agua no se puede comprimir, la corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir el peso de la corona por el volumen de agua desplazada se podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor que la densidad del oro si otros metales menos densos le hubieran sido añadidos. Cuando Arquímedes, durante el baño, se dio cuenta del descubrimiento, se dice que salió corriendo desnudo por las calles, y que estaba tan emocionado por su hallazgo que olvidó vestirse. Según el relato, en la calle gritaba "¡Eureka! (¡Lo he encontrado! ) de esa mirada activa y ocurrente de un hecho cotidiano nació el famosísimo principio de Arquímedes.

Esa es la mirada que necesitamos promover y desarrollar en el aula. Una mirada activa y participante en la resolución de los problemas. Para eso, nada mejor que estimular el pensamiento creativo y generar situaciones significativas, desafiantes y convocantes. Situaciones de acción surgidas de lo habitual, utilizando material concreto o proponiendo simulaciones.

¿Nos ponemos a pensar juntos? ¿A ver quien es el próximo que grita EUREKA en el 34?

Muy Buena semana

MAJO

Un encuentro con las musas...hoy poesía

Buenos Días!

Esta mañana en el Canal Encuentro encontré casualmente la repetición del programa "ARTISTAS DE LA CIENCIA"  que tradicionalmente podemos ver los martes a las 21:30 hs.
Me pareció muy apropiado nombrarlo en este blog porque este ciclo indaga los caminos que conectan el mundo de las artes con los de la ciencia. Alberto Rojo, físico y músico, encara el rol de un investigador que explora los puntos de encuentro entre las dos disciplinas. Cuenta cómo artistas y científicos se alimentan de conocimientos que conectan sus áreas de investigación y sus ideas.

La página de Encuentro es:
http://www.encuentro.gov.ar/Home.aspx

Ahi podemos chequear la grilla de programación, bajar descargas multimedias para docentes y los horarios de repetición de todos los programas.

Los Capitulos de Abril de "Artistas", son:   El Martes 19/04: Poesía  y El Martes 26/04: Música

Como una perlita de este programa dedicado a la poesía, rescato la paricipación de PABLO AMSTER, leyendo los versos del Ing. Rafael Nieto Paris dedicados al número PI.  En estos versos cada cifra de pi está representada por el número de letras de cada palabra; “Soy p, lema” = 3,14). Transcribo el original, cuyos versos permiten abarcar hasta la cifra 80.

Soy p, lema y razón ingeniosa
de hombre sabio, que serie preciosa
valorando enunció magistral.

Con mi ley singular bien medido
el Grande Orbe, por fin, reducido
fue al sistema ordinario real.

Arquímedes, en ciencias preciado
crea p, monumento afamado,
y aunque intérmina dio valuación,

periferia del círculo supo,
duplicando geométrico grupo,
resolver y apreciarle extensión.

Teorema legó, memorable
como raro favor admirable
de la espléndida ciencia inmortal;

y amplia ley, filosófica fuente
de profunda verdad y ascendente
magnitud, descubrió universal.

Ing. Rafael Nieto París (1839-1899)

Colombia

También hay una payada, muy divertida,  de Leonardo Moledo dedicada a PI, que podemos usar en clase para ver si es verdad lo que dicen estos malevos...la pueden leer directamente del blog de Moledo: aquí Pi

La idea es seguir encontrando musas...en la poesía, en la música, en las historietas que nos permitan mostrarles a los alumnos que la matemática está en todas partes y sobre todo ,muy viva!!!

No puedo dejar de mencionar que en este momento en Buenos Aires, tenemos la Feria del Libro, una oportunidad única para presenciar conferencias y  conseguir ofertas editoriales a muy buen precio. Por eso adjunto esta foto, es de la FERIA DEL LIBRO 2009, donde la Prof. Verónica Veltri, Juan Lezcano, Yesica Borina, Diego Iogna y yo pudimos conocer al Dr. Pablo Amster personalmente, luego de una conferencia.
Saludos a todos, nos leemos...
MAJO