¿Quién es PI?

Hoy quiero dedicar mi post a los chicos de segundo año de "la tres del siete" , porque siempre hablamos de PI; pero ¿Quien es?

Se lo define como el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Esto quiere decir, la cantidad de veces que el diámetro está contenido en el perímetro.

Podemos calcular un valor aproximado a través de una simple experiencia casera, midiendo el perímetro de algún objeto cilíndrico y luego dividiendo el mismo, por el diámetro.
¿Cuánto les da? Si midieron con cierto cuidado, seguramente el resultado se aproxima a “tres y pico...”

Lo  curioso es que para todos los círculos, sean grandes o pequeños, la relación circunferencia y  diámetro,  es siempre la  misma PI. Un número tan especial que tiene infinitas cifras decimales no periódicas y hasta un nombre propio,  aunque ésto, como muchas otras cosas, no siempre se supo.

Desde hace aprox. unos 5000 años, el hombre ha utilizado  objetos que ruedan para ayudarse en sus tareas, por eso es muy probable que haya descubierto ese "3 y pico” hace muchos años, pues es imprescindible para calcular y resolver problemas que involucraran estos cuerpos.

Cuenta la historia, que los antiguos egipcios en el 1600 a. de C. ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede leerse lo siguiente:

"Corta 1/9 del diámetro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo área que el circulo".

Si llamamos A al área del círculo, ésta será igual a 8/9 del diámetro al cuadrado

     A=(8/9 d)^2

Como   d=2r entonces   A= 2r^2 x 64/81  = 4r2 x 64/81  = r2 x 256/81

Así vemos como  π adoptaba el valor 256/81, aproximadamente 3,16.  En Mesopotamia, más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban el valor 3,125 (3+1/8) según  la Tablilla de Susa.

Mientras que los geómetras de la Grecia clásica sabían que la razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre una constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera y el cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de "Los Elementos" de Euclides).

Fue Arquímedes en el siglo III a. de C. quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con π. Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo en una circunferencia, polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica aproximación para la época :

3+10/71 < π < 3+1/7

 es decir, el número buscado está entre 3,1407 y 3,1428

Podemos ver aproximaciones del número Pi, en: Aproximación de PI

A partir de éste principio, en el siglo II d. de C, Ptolomeo utilizó polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximar un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3,14166...
En China también se hicieron esfuerzos para calcular su valor. Liu Hui en el siglo III, utilizó polígonos de hasta 3072 lados para conseguir el valor de 3,14159, y Tsu Ch'ung Chi en el siglo V da como valor aproximado 355/113 = 3,1415929...
Los Siddhantas hindúes, que datan del 380 d. de C. registran a π con un valor 3 + 177/1250, que es exactamente 3,1416. Un valor de Pi muy aceptado y difundido.

Utilizando el método de Arquímedes, en el siglo XVI, el matemático francés Vieta usó polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse hasta 3,141592653 ; pero el mayor logro conseguido con este método se debe al matemático alemán, residente en Holanda, Ludolf van Ceulen que trabajó en el cálculo de π casi hasta el día de su muerte. Llegó a trabajar con polígonos de miles de lados para conseguir una aproximación de 35 cifras decimales. Su deseo fue que, después de su muerte, se grabará sobre su lápida el número con los 35 decimales calculados.
El siguiente avance teórico se atribuye a dos holandeses:  Willebrod Snell y Christian Huyghens , en el siglo XVII con cuyas fórmulas se obtienen  3.141566592 y 3.141697707 respectivamente, lo que da una idea de lo próximos que están a π.
Como vemos,  el número de lados necesarios para calcular 35 decimales con el método de Arquímedes es bastante considerable, y los nuevos métodos de Snell y Huyghens tampoco resultaron demasiado eficaces. El trabajo necesario para calcular más y más decimales empezaba a escapar a las posibilidades del ser humano. Pero nuevos métodos  estaban naciendo y empezando a crecer en las mentes de algunos matemáticos. Durante el siglo XVII empezaron a utilizarse las series, productos infinitos y fracciones continuas, y el cálculo diferencial de Leibnitz y Newton jugó un papel importante en todo ello.

En 1674 el alemán G. Leibnitz obtiene  la serie: π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 -...
pero presenta el mismo problema. Tienen que sumarse unos 19 millones de términos para conseguir 7 decimales correctos. Dejemos claro que el haber encontrado estas expresiones supone un gran mérito, aunque no son útiles en la práctica para calcular π con precisión.

La solución a todo debía ser una serie de convergencia rápida, sin elcálculo de raíces o expresiones  excesivamente complejas. John Machin encuentra una solución. Utilizando esa fórmula, él consiguió 100 decimales ¡Calculados a mano!
Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159  = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y al adoptarlo Leonard Euler, en 1737 lo convirtió en la notación habitual que se usa hasta nuestros días.

Así, se siguieron hallando cifras y cifras para Pi y obviamente nunca se halló su periodicidad. Pero una gran  diferencia surge con el diseño de la primera computadora, a partir de ahí se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π , que permitieron hallar grandes cantidades decimales. De esta forma, en 1949 con la ENiAC y rompiendo todos los récords, se obtuvieron 2.037 cifras decimales en 70 horas.

Lo último que sabemos, es que en Enero 2011, Shigeru Kondo, un ingeniero de sistemas japonés calculó el valor de “pi” con aproximación a cinco trillones de dígitos. Todo ello usando una computadora armada por él mismo.

Como podemos ver a través de esta historia, paradójicamente, el valor de Pi ha ido cambiando con el tiempo, aunque siempre ha representado lo mismo. Nunca se alcanzaran sus infinitas cifras; pero el hombre  desea estar cada vez más cerca.

Cosas de la matemática, ¿No?