Proble+

Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay una pizca de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Tu problema puede ser modesto, pero si es un reto a tu curiosidad y trae a juego tus facultades inventivas, y si lo resuelves por tus propios métodos, puedes experimentar la tensión y disfrutar del triunfo del descubrimiento.George Pólya

En mi clase de mañana con los chicos del profesorado vamos a reflexionar acerca del aprendizaje y la resolución de problemas.

La verdad, creo que lo más difícil antes de resolver un problema, es el reconocer su existencia. Eso hace que uno ponga todas sus energías e intente resolverlo, por eso pienso… ¿Mis alumnos, futuros profesores, creerán que es un problema enseñar a resolver problemas o no?

Más allá del trabalenguas, acá lo que está en cuestión es la necesidad de realizar un cambio metodológico a la hora de enseñar matemática o no.

Por eso, me parece interesante arrancar con esta pregunta:

¿Por qué es necesario enseñar a resolver problemas y que tenemos que considerar al hacerlo?

Voy a empezar con algunas razones sencillas y los invito a agregar en sus comentarios algunas más jugosas:

·         Nuestra vida cotidiana nos presenta a diario los más variados problemas, así que los alumnos necesitan capacitarse no sólo en resolverlos sino también distinguir cuales valen la pena resolver.

·         Cuando ya resolvimos una vez cierto escollo, ya no representa un problema para nosotros…¿Por qué en la escuela estamos solos intentando resolver algo que nunca antes hicimos? Si en la vida real, los problemas habitualmente se resuelven en grupo o al menos se consulta con otras personas.

·         La mayoría de los problemas cotidianos no tienen una serie única de pasos para su resolución, ni siquiera tienen toda la información necesaria, por eso se los denomina mal estructurados. Si durante nuestras clases presentamos pseudos-problemas con una “receta” explicita y única para su solución  ¿Cómo luego podrán los alumnos resolver “sus verdaderos problemas”? Mejor enseñar una secuencia de pasos que nos ayuden a resolver problemas, por ejemplo los de Polya

·         Los problemas escolares suelen estar descontextualizados, incluso suelen tener una única solución. Mientras que los problemas del mundo real están atravesados por numerosas variables que pueden condicionar sus posibles y múltiples soluciones: los costos, el tiempo, las distancias... En clases todos estamos muy seguros de la respuesta correcta; pero en la vida real no siempre está claro cual es la mejor solución. De hecho, la solución de un problema no siempre es definitiva, los problemas reales pueden tener diversas dimensiones en incluso modificarse de acuerdo a la perspectiva de quien los resuelva o evalue…

 

El desafío  no solo es seleccionar esos problemas..

 

Tanto para los profesores como para los alumnos, los desafíos a abordar son muchos, no solo elegir los problemas y plantearlos en secuencia (lo que no es poco). Para empezar a resolver problemas, es importante generar un clima en el aula propicio para la interacción, la discusión, la reflexión crítica y el manejo del error. Tenemos que estar dispuestos a contener y guiar a alumnos acostumbrados a que se les diga exactamente qué es lo que deben hacer, a valorar más el proceso que la respuesta correcta, a comprender que el razonamiento, surge como un proceso social que se internalizar solo después de haberse sido expresado e interactuado socialmente y finalmente entender que los alumnos van a aprender a pensar y resolver problemas no porque les hayamos enseñado bien sino porque se les facilitamos los medios adecuados que propiciaron su propio aprendizaje.

Por eso, chicas y chicos...allá vamos, tomemos el desafío de plantear y resolver problemas!!!  Espero sus comentarios. Muy Buena Semana a todos

MAJO

Tras las pistas de la matemática y la comunicación

Nos encontramos otra vez hablando de nuestro amigo Peirce, quien concibió a los signos como tríadas. Si bien este lógico realizó muchísimas clasificaciones de los signos, la más conocida y utilizada es la que divide a los símbolos en iconos, índice y símbolos. En esta entrada vamos a retomar esta clasificación para hablar de los índices. ¿Vieron que tenemos un dedo que se llama índice? Bueno, pensemos por un segundo a qué se debe este nombre. Efectivamente vamos a deducir que nuestro dedo índice se llama así porque lo utilizamos para indicar o señalar (en este momento los imaginamos a todos los lectores de esta entrada levantando sus índices y señalando algo). El índice es además de una señal una guía, porque lo que nos dice es cómo llegar a otra cosa. Es el GPS de los signos. 

Los índices pertenecen al ámbito de la Segundidad” que para Peirce es el modo de significación de lo que es tal como es, con respecto a algo más, pero sin referencia a un tercer elemento; la Segundidad es efecto, es actualidad, es lo que es “aquí y ahora”. Eso en comunicación, pero también los índices son una valiosa herramienta matemática. Mediante el uso de índices y tasas, la matemática permite generar relaciones, ecuaciones entre distintas variables y gracias a eso, el resto de las ciencias pueden investigar diferentes fenómenos utilizando el método es un cuantificador o cualificador del fenómeno o científico. Para los matemáticos, entre otras cosas, un índice es un aspecto que se desea evaluar. Por eso, se lo construye en función de las variables más relevantes involucradas en dicho fenómeno y se pondera el grado de incidencia en el mismo. ¿Y eso para que sirve? En principio, para guiarnos a entender lo que está sucediendo, para permitirnos ver el aquí y ahora; pero también para ayudarnos a poder proyectar el más allá. Otros significados de índice pueden consultarse acá y se darán cuenta de la cantidad de veces que usamos esta palabra y para cuestiones de lo más diversas

Veamos estos ejemplos:

En esta imagen no vemos fuego pero el humo es claro índice de que hay un incendio en ese edificio.

En esta otra imagen una huella de un pie humano que es índice de que una persona pasó por allí.

Como indicadores del desempeño escolar, se utilizan los índices de promoción efectiva, repitencia y abandono. El análisis de estos índices, brinda una valiosa información acerca del comportamiento académico de los estudiantes y su recorrido escolar. Por ejemplo:
El Indice de promoción es el porcentaje de alumnos que se matriculan en el año de estudio siguiente para  próximo año lectivo.
El Indice de repitencia es el porcentaje de alumnos que se matriculan como repitentes en el año lectivo siguiente

Veamos el Cuadro de Tasa de Repitencia del Ciclo Básico - 2008/9

Si observamos el cuadro atentamente nos podemos percatar que el Total Nacional del Indice de Repitencia en la Gestión Estatal casi triplica el de la Gestión Privada. ¿Sorprendidos? Nuevamente, no vemos el fuego; pero aquí, el humo presagia un incendio...

Cuadro de índices de promoción, repitencia, y abandono a través del tiempo

Viendo este cuadro podemos advertir cuán superior es la diferencia de repitencia en el ciclo básico, mientras que el abandono interanual aumenta notablemente en el ciclo orientado... ¿Algo está indicando, verdad? ¿Alguien interpretará estos índices y buscará resolver los problemas que señalan?

El siguiente es un mapa educativo:

Mapa Educativo de Argentina- Tasa de Repitencia Secundaria 2006/2007

Se han coloreado las provincias en degradé, de acuerdo al ascenso (violeta) o descenso (verde) del índice de repitencia analizando la década 1996/7 a 2006/7. Otra vez, nos volvemos a sorprender...

Más allá de la sorpresa, la cuestión es poder leer estos índices, interpretar las pistas que los números nos comunican, que hacen visibles los fenómenos educativos y nos otorgan una información indispensable para la toma de decisiones en política educativa, que traducidas en acciones permitirá producir transformaciones en el ámbito de la gestión.

Nos gustan los índices por muchos motivos: al toro por las astas le gustan porque lo remontan a la adolescencia despreocupada en la que amaba leer novelas policiales plagadas de pistas, que no son otra cosa que índices, y donde lo único que le impedía dormir era seguir leyendo para descubrir quién era el asesino. Ansiaba llegar a la parte donde con el corazón detenido y poniendo a prueba su capacidad  detectivesca, leía  la frase: “El asesino es...”. Hoy, en cambio, a la musa matemática la desvelan y preocupan seriamente que se interpreten en forma adecuada los índices de pobreza e inflación, promoción y repitencia y que luego se propicien acciones que permitan revertir las desigualdades...
A esta Pareja Pedagógica no le gusta que se manipulen las estadísticas a piacere ¿Y ustedes creían que los índices eran poca cosa?

Gauss, el principe

La matemática es la reina de las ciencias,

y la aritmética la reina de las matemáticas. Gauss

          

                       

Algunos dicen que Arquímedes, Newton y Gauss son los mayores genios de la historia de la Matemática, es discutible….cada uno de nosotros tiene sus favoritos; pero es bueno conocer más sobre ellos, por eso hoy en musas nos dedicaremos a recorrer la vida del príncipe, Carl Gauss.

Es bastante difícil ser sintéticos en este caso, ya que  hizo aportes en todos los campos de la matemática; pero también de otras ciencias... Casi podríamos decir que todos los grandes descubrimientos científicos del siglo se encuentran de algún modo relacionados con Gauss.

Carl, un príncipe de los números.

Johann Carl Friedrich Gauss nació en Alemania, un 30 de abril de 1777, en una familia muy pobre. Desde  pequeño, Carl mostró su talento. Aprendió a leer solo, sin que nadie lo ayudara y casi lo  mismo sucedió con el cálculo mental: a los tres años corregía las cuentas que hacía su papá.Con siete años ingresó a la escuela en Brunswick, donde se desarrolla una de sus anécdotas más famosas,aunque nunca sabremos si es cierta o no.

Dicen que su profesor propuso sumar los números desde el 1 al 100, Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo "Ligget se, 5050!" (ya está, 5050!). Asombrado por la velocidad, el maestro revisó las soluciones al finalizar la hora, y advirtió que la respuesta del niño Gauss era correcta, posiblemente ese profesor fue el primero en descubrir que frente a él había un genio. Siempre que recuerdo esta anécdota me pregunto: ¿Qué habrá pensando ese maestro? ¿Habrá sentido satisfacción o miedo al desafío? ¿Cómo actuaríamos nosotros en ese lugar? ¿Cuántos sentimientos nos movilizan las actitudes de nuestros alumnos, verdad?

Otro de sus profesores, Batels, consiguió presentar a Gauss al Duque de Brunswic,  quien a partir de ese momento, se encargó de subvencionar su educación. En principio, en el colegio Carolino, donde estudió durante tres años, conoció la obra de Euler, Lagrange y, sobre todo, los Principia deNewton. Para esa época ya había descubierto su ley de los mínimos cuadrados, lo que indica su temprano interés por la teoría de errores de observación y su distribución. Antes de cumplir los 19 años, Carl consiguió la construcción de un polígono regular de 17 lados con regla y compás, como se exigía en la Geometría desde Grecia.

El gran demostrador…

Gauss no sólo logró la construcción del polígono sino que también encontró la condición que deben cumplir los polígonos para poder construirse por ese método: El número de sus lados debe ser potencia de dos o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado números primos de Fermat.Él demostró este teorema combinando un razonamiento algebraico con otro geométrico. La técnica utilizada para esa demostración, se ha convertido en una de las más usadas en matemática: trasladar un problema desde un dominio inicial (la geometría en este caso) a otro (álgebra) y resolverlo. Para su tesis doctoral en la Universidad de Helmstedt, Gauss dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra.

Quizás la mayor obra publicada por el príncipe sean las Disquisitiones Arithmeticae de 1801,  tan importantes para la teoría de números como los elementos de Euclides para la geometría. Y Ni hablar del aporte de Gauss a los números complejos… Mientras que durante el Renacimiento se endilgaron a estos números propiedades mágicas, aprovechando el trabajo de Euler, Gauss los instaló y empleó como objetos matemáticos. Él ideó representarlos geométricamente mediante puntos en el plano, demostró que las soluciones de cualquier ecuación algebraica pertenecerían a este conjunto y  elaboró un método para descomponer los números primos como producto de números complejos. En 1811 fue el primero en demostrar el hoy llamado, teorema del valor medio generalizado de Cauchy, aunque nunca llegó a publicarlo. Como si todo esto fuera poco,  sus anotaciones hacen ver que Gauss fue uno de los primeros en  pensar en la existencia de una geometría en la que no se verificase el axioma de las paralelas… las geometrías no euclidianas. Realmente una obra inmensa.

Una estrella..

A partir de aquí las matemáticas puras dejan de ser el único objetivo para Gauss y comienza a interesarse por la astronomía, dedicándole la mayor parte de su tiempo durante 20 años. El descubrimiento del "nuevo planeta enano", llamado posteriormente Ceres, el primer día del siglo XIX por el astrónomo Giuseppe Piazzi, sedujo enormemente al este joven matemático. Como era necesario determinar con exactitud la órbita de Ceres para ponerlo de nuevo al alcance los telescopios, Gauss tomó ese reto y Ceres fue redescubierto un año después, en el lugar que él había predicho con sus detallados cálculos. Con este video podemos comprender mejor la idea  conocer más de su historia:

Su técnica consistió en demostrar como las variaciones en los datos de origen experimental podían comprenderse a través de una distribución normal cuya representación es una curva acampanada, conocida como campana de Gauss. Parecido éxito tuvo en la determinación de la órbita del asteroide Pallas, teniendo en cuenta en sus cálculos, las perturbaciones producidas por los otros planetas del sistema solar. 

En 1807 fue nombrado director del observatorio de Göttingen y en 1809 publicó su segunda obra maestra, Teoría del movimiento de los cuerpos celestes que giran alrededor del Sol en secciones cónicas. La única obligación como director del observatorio era dar cursos de matemática a los estudiantes de la Universidad, pero parece que la paciencia y el placer por enseñar no era uno de los puntos fuertes de l Sr. Gauss, quien solamente disfrutaba de tener buenos matemáticos como alumnos. Así, cabe la reflexión: Muchas veces el mejor matemático no es el mejor profesor… son dos cosas diferentes, ya que enseñar matemática es verdaderamente un arte!!

Deseandoles una muy buena semana, me despido.

MAJO

De las tablas, al tablón...

"Un momento esencial del aprender, 

consiste en  instalar el tema de la clase"

David Ausubel  

Todos alguna vez estudiamos las tablas de multiplicar y cuando recordamos la experiencia, en general, surge una maestra escribiéndolas en el pizarrón, nosotros copiando en el cuaderno y el versito con que las memorizábamos en casa.Esa es la primera imagen que tenemos al escuchar la palabra TABLA: Pizarrón y memoria.

Del pizarrón y las tablas, a los tablones.

Dice Edith Lewin "La tiza y el pizarrón son la expresión de la tecnología más simple, más utilizada y quizás menos estudiada...(El pizarrón) reflejaba la enseñanza y hacía transparentes los actos del maestro..." 

Cuando instalar o no, un tema en un pizarrón no carece de importancia. Desde la perspectiva de la cognición, Ausubel  denominó un "organizador avanzado" al proceso de delimitar de manera inicial el tema que será el núcleo de trabajo, y en este sentido,podemos ver que el pizarrón nos ofrece un buen marco para instalar conceptos, para que las cogniciones avancen a medida que se trata un tema, para que los conceptos vayan acuñándose, las ideas centrales se representen de distinta manera, los conceptos se destaquen, empiecen a surgir relaciones  y así, puedan emerger distintas dimensiones de análisis... 

Es decir, un buen pizarrón puede proporcionar muchas ayudas en la comprensión de relaciones entre procesos cognitivos permitiendo: comparación, generalización, síntesis,  ejemplificación, relación con la realidad, visualización de procesos mediante gráficas, motivación por imágenes, el reconocimiento de la importancia y alcance de ciertos conceptos o incluso someterlos a cuestionamiento....En síntesis: empezar a escribir en el pizarrón nos permite a los docentes iniciar un recorrido que nos permite registrar nuestras mejores estrategias, y fundamentalmente animar a la intervención y a las prácticas cooperativas entre los alumnos.

¡Cuántas cosas nos permite un simple pizarrón bien utilizado y cuántas más nos puede permitir si le agregamos otras dinámicas!  Hoy muchas escuelas disponen de Pizarras Digitales Interactivas (PDI) con sus múltiples aplicaciones; pero también existen otras sencillas aplicaciones, que de alguna manera, podemos considerar como "nuestros pizarrones potenciados", como  Prezi, Glogster, del cual ya hemos hablado, o el reciente Pinterest.

Pinterest.

En su esencia Pinterest es un tablón virtual que permite crear murales con imágenes. Su nombre en inglés, Pin + Interest, quiere decir “Enganchar tus intereses”. Esta herramienta nos permite agrupar imágenes en forma ordenada, tanto propias, como ajenas y como las fotos conservan el enlace con la página web o  el blog en donde se encuentran se respeta la autoría original.

Las fotos o “Pins” que colgamos en los tablones pueden ser compartidas con otros usuarios (Repin), y al admitir el uso de #hashtag, como en twitter, podemos realizar búsquedas facilmente y de esa manera, encontrar variedad de recursos para un tema. Su uso es muy sencillo (Video Tutorial), lo cual ofrece un gran potencial para usar en el aula, sobre todo para aquellos alumnos que aprenden mejor en forma visual.

Hace apenas una semana que empecé con el tablón y los resultados entre los alumnos han sido satisfactorios, tanto en la selección de imágenes que han hecho, como en el grado de participación, colaboración e interacción con los comentarios. Esencialmente, mis objetivos al utilizar el tablón fueron: Registrar y ordenar la puesta en común de una actividad integradora trabajando distintas lecturas y sobre todo, estimular al grupo Didáctica 2012 en el uso de Tics vivenciando sus posibilidades.

Esto recién empieza y hay mucho para probar, reflexionar y mejorar así que bienvenidos los comentarios con experiencias.

¡Muy buena semana! 

MAJO

De Roma,con amor

“Los griegos dieron al geómetra el más alto honor; de acuerdo con esto, nada tenía un progreso más brillante que la matemática. Pero nosotros, hemos  establecido como límite de este arte su utilidad para medir y cortar.”  Cicerón

Esta frase de Cicerón, explica de alguna manera porque en matemática siempre hablamos de los desarrollos griegos, y en cambio es tan breve el espacio destinado a la matemática de Roma. Considerando que esa cultura dominó la historia más de mil años, parece muy pobre que apenas  recordemos los símbolos de su sistema de numeración, por ser clásicos en los relojes de agujas.

El período durante el cual los romanos hacen historia abarca desde el 750 AC  Hasta el 476 DC, casi el mismo tiempo en el cual se desarrolló la civilización griega, con quienes mantuvieron estrecho contacto desde el 200 A. C; pero pese a esta influencia, durante once siglos no hubo ningún matemático romano reconocido.  ¿Por qué?

¿Qué matemática conocían los romanos?

 Los romanos disponían de una aritmética rudimentaria y algunas fórmulas geométricas aproximadas, “tanteadas” que posteriormente fueron complementadas con adaptaciones de las griegas. Sus símbolos para los números naturales M D L C X V son familiares para nosotros; pero poco útiles para el cálculo ya que su sistema de numeración no era posicional, por eso utilizaban diversos tipos de ábacos, los dedos , incluso se ayudaban con tablas para poder operar con ellos. Conocían las fracciones, y las expresaban  en base 12. Usaban  símbolos y palabras especiales para designar 1/12, 2/2,..., 11/12, 1/24, 1/36, 1/48, 1/96, etc.  Algunos autores creen que posiblemente el origen de la base 12 haya sido  la relación entre el mes lunar y el año. La unidad de peso, por cierto, era el as; un doceavo del mismo era la uncia, de la que derivan las actuales medidas: onza y pulgada.     

 A partir del año 50 a. de C., aproximadamente, los romanos comienzan a escribir sus propios libros técnicos; en base al material griego. Los trabajos más famosos son los diez libros de Vitrubio sobre arquitectura, que datan de los años 20  a.c.  En ellos, Vitrubio afirmó  que los tres grandes descubrimientos matemáticos son: el triángulo rectángulo de lados  3, 4 y  5, la irracionalidad de la diagonal del cuadrado unidad y la solución de Arquímedes del famoso problema de la corona. Además, recopila otros hechos que implican el uso de la matemática: las proporciones  del cuerpo humano ideal, las relaciones aritméticas armónicas y las capacidades y alcances  de las catapultas.

Geometría SI, Matemática NO

Entre los romanos la “matemática” no estaba muy bien vista ya que a los astrólogos se los denominaba “mathematicii”  y la astrología fue condenada por los emperadores. El emperador Diocleciano  hizo una distinción entre geometría y matemática. Mientras la primera se enseñaba y aplicaba en las escuelas públicas ya que era necesaria a la hora de encarar proyectos y construcciones; el “arte de las matemáticas”, fue condenado y prohibido completamente en el imperio. El “código de matemáticas y malas artes”, era penado por la ley romana y esas penas se aplicaron también  en Europa durante la Edad Media. La distinción entre los términos “matemático” y “geómetra” duró hasta bien pasado el Renacimiento.. ¿Desde esa época nos dirán brujas a las profes de matemática? Jaja!

¿Saber solamente lo útil?

 Los romanos eran un pueblo práctico y como gobernaban un gran imperio toda su obra tenía que tener una utilidad. No es extraño que el principal uso de la aritmética y la geometría romana haya sido la agrimensura, imprescindible a la hora de  determinar las fronteras de las ciudades y de medir los terrenos de las viviendas. Los agrimensores calculaban las distancias utilizando instrumentos sencillos y la congruencia de triángulos

 Fueron capaces de diseñar y construir grandes proyectos de ingeniería, que les permitieron movilizarse a través del Imperio para abastecerlo y defenderlo. Todavía podemos ver sus impresionantes viaductos, sus vías, puentes y maravillosos edificios públicos; pero cabe destacar, que se negaron a considerar cualquier idea teórica que pudiera estar más allá de las aplicaciones directas. Los constructores romanos se contentaron con simples recetas y maneras de proceder que  poco requerían  del gran corpus del pensamiento griego. Y esa fue la gran diferencia…Una lección que podemos aprender de la historia romana es que los pueblos que desdeñan el trabajo de la ciencia pura, y son capaces de desacreditar su utilidad, ignoran el impacto en posteriores desarrollos prácticos y con ello, de alguna manera sellan su suerte… 

Es claro y evidente que es mucho más simple aprender a reproducir, a copiar que a crear. Cuando repetimos algo ya hecho, salimos del paso de inmediato, resolvemos situaciones sin esfuerzo y aparentemente alcanzamos nuestros objetivos, todo muy rápidamente, aunque en nuestro interior,  todos sabemos que  logros tan veloces suelen ser fugaces y  efímeros. Cuando en la escuela enseñamos matemática de forma reproductivista, aplicando procedimientos y técnicas de memoria,  estamos fomentando eso: salir del paso, alcanzar rápidamente un objetivo (para el profesor cumplir su planificación, para el alumno resolver sus ejercicios y aprobar la materia); pero seamos claros, esos no deben ser “EL OBJETIVO” de la enseñanza de la  matemática. La idea es que los alumnos aprendan a pensar y utilizar sus herramientas en la resolución de problemas en cualquier aspecto de sus vidas y no solo en la escuela.

De cualquier manera, amo a la Bella Roma y me hace feliz recorrerla aunque sea en forma virtual. Por eso, en una semana muy complicada desde lo personal, quise publicar este post que escribí hace un tiempo para recordar que no hay mal que dure 1000 años!!

                                   Buena semana, cariños

MAJO