e O e...llegó el número e

Vamos a compartir  con los chicos de segundo año de "latresdelsiete", un video del Dr. Adrián Paenza, quien nos presenta al número e

El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemática.

Las primeras cifras son:

2.7182818284590452353602874713527 (y así sigue...infinitamente sin periodicidad)

Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler

e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier) y que ustedes aprenderán en la escuela un poco más adelante. Por ahora, les cuento una de las muchas aplicaciones del número e, ya que seguramente alguna vez escucharon acerca del procedimiento del Carbono 14 

Para determinar de una manera aproximada la antigüedad de un objeto que está formado por materia orgánica se mide la cantidad de carbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen una cantidad de carbono 14 constante, cuando un ser vivo muere la cantidad de carbono se va desintegrando y como el C14 es radioactivo, su radiación se va "perdiendo"a lo largo del tiempo.

 Se encontró una función que describe esa desintegración y tiene la siguiente fórmula:

            Q = Q_o · e^-0,000124·t

Llamamos Q a la cantidad de carbono 14 final, Qo a la cantidad de carbono 14 inicial y t es el tiempo.

Bueno, para ser la primera vez que escuchan sobre e, me parece bastante....¿No?

¡Linda semana y a seguir buscando irracionales famosos, chicos!

Cariños

MAJO

¿Quién es PI?

Hoy quiero dedicar mi post a los chicos de segundo año de "la tres del siete" , porque siempre hablamos de PI; pero ¿Quien es?

Se lo define como el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Esto quiere decir, la cantidad de veces que el diámetro está contenido en el perímetro.

Podemos calcular un valor aproximado a través de una simple experiencia casera, midiendo el perímetro de algún objeto cilíndrico y luego dividiendo el mismo, por el diámetro.
¿Cuánto les da? Si midieron con cierto cuidado, seguramente el resultado se aproxima a “tres y pico...”

Lo  curioso es que para todos los círculos, sean grandes o pequeños, la relación circunferencia y  diámetro,  es siempre la  misma PI. Un número tan especial que tiene infinitas cifras decimales no periódicas y hasta un nombre propio,  aunque ésto, como muchas otras cosas, no siempre se supo.

Desde hace aprox. unos 5000 años, el hombre ha utilizado  objetos que ruedan para ayudarse en sus tareas, por eso es muy probable que haya descubierto ese "3 y pico” hace muchos años, pues es imprescindible para calcular y resolver problemas que involucraran estos cuerpos.

Cuenta la historia, que los antiguos egipcios en el 1600 a. de C. ya sabían que existía una relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro; y entre el área del círculo y el diámetro al cuadrado (seguramente de forma intuitiva). En el Papiro de Rhind puede leerse lo siguiente:

"Corta 1/9 del diámetro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene el mismo área que el circulo".

Si llamamos A al área del círculo, ésta será igual a 8/9 del diámetro al cuadrado

     A=(8/9 d)^2

Como   d=2r entonces   A= 2r^2 x 64/81  = 4r2 x 64/81  = r2 x 256/81

Así vemos como  π adoptaba el valor 256/81, aproximadamente 3,16.  En Mesopotamia, más o menos por la misma época, los babilonios utilizaban el valor 3,125 (3+1/8) según  la Tablilla de Susa.

Mientras que los geómetras de la Grecia clásica sabían que la razón entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro es siempre una constante (el número al que ahora llamamos pi). También conocían y habían conseguido demostrar que tanto la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado, como la del volumen de una esfera y el cubo de su diámetro eran constantes (desconocidas en aquel momento, libro XII de "Los Elementos" de Euclides).

Fue Arquímedes en el siglo III a. de C. quien determinó que estas constantes estaban estrechamente relacionadas con π. Además, utilizó el método de exhaución, inscribiendo y circunscribiendo en una circunferencia, polígonos de hasta 96 lados y consiguiendo una magnífica aproximación para la época :

3+10/71 < π < 3+1/7

 es decir, el número buscado está entre 3,1407 y 3,1428

Podemos ver aproximaciones del número Pi, en: Aproximación de PI

A partir de éste principio, en el siglo II d. de C, Ptolomeo utilizó polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximar un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3,14166...
En China también se hicieron esfuerzos para calcular su valor. Liu Hui en el siglo III, utilizó polígonos de hasta 3072 lados para conseguir el valor de 3,14159, y Tsu Ch'ung Chi en el siglo V da como valor aproximado 355/113 = 3,1415929...
Los Siddhantas hindúes, que datan del 380 d. de C. registran a π con un valor 3 + 177/1250, que es exactamente 3,1416. Un valor de Pi muy aceptado y difundido.

Utilizando el método de Arquímedes, en el siglo XVI, el matemático francés Vieta usó polígonos de hasta 393.216 lados para aproximarse hasta 3,141592653 ; pero el mayor logro conseguido con este método se debe al matemático alemán, residente en Holanda, Ludolf van Ceulen que trabajó en el cálculo de π casi hasta el día de su muerte. Llegó a trabajar con polígonos de miles de lados para conseguir una aproximación de 35 cifras decimales. Su deseo fue que, después de su muerte, se grabará sobre su lápida el número con los 35 decimales calculados.
El siguiente avance teórico se atribuye a dos holandeses:  Willebrod Snell y Christian Huyghens , en el siglo XVII con cuyas fórmulas se obtienen  3.141566592 y 3.141697707 respectivamente, lo que da una idea de lo próximos que están a π.
Como vemos,  el número de lados necesarios para calcular 35 decimales con el método de Arquímedes es bastante considerable, y los nuevos métodos de Snell y Huyghens tampoco resultaron demasiado eficaces. El trabajo necesario para calcular más y más decimales empezaba a escapar a las posibilidades del ser humano. Pero nuevos métodos  estaban naciendo y empezando a crecer en las mentes de algunos matemáticos. Durante el siglo XVII empezaron a utilizarse las series, productos infinitos y fracciones continuas, y el cálculo diferencial de Leibnitz y Newton jugó un papel importante en todo ello.

En 1674 el alemán G. Leibnitz obtiene  la serie: π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 -...
pero presenta el mismo problema. Tienen que sumarse unos 19 millones de términos para conseguir 7 decimales correctos. Dejemos claro que el haber encontrado estas expresiones supone un gran mérito, aunque no son útiles en la práctica para calcular π con precisión.

La solución a todo debía ser una serie de convergencia rápida, sin elcálculo de raíces o expresiones  excesivamente complejas. John Machin encuentra una solución. Utilizando esa fórmula, él consiguió 100 decimales ¡Calculados a mano!
Fue en el año 1706 cuando el galés William Jones afirmó: «3,14159  = π» y propuso usar siempre el símbolo π, y al adoptarlo Leonard Euler, en 1737 lo convirtió en la notación habitual que se usa hasta nuestros días.

Así, se siguieron hallando cifras y cifras para Pi y obviamente nunca se halló su periodicidad. Pero una gran  diferencia surge con el diseño de la primera computadora, a partir de ahí se empezaron a desarrollar programas para el cálculo del número π , que permitieron hallar grandes cantidades decimales. De esta forma, en 1949 con la ENiAC y rompiendo todos los récords, se obtuvieron 2.037 cifras decimales en 70 horas.

Lo último que sabemos, es que en Enero 2011, Shigeru Kondo, un ingeniero de sistemas japonés calculó el valor de “pi” con aproximación a cinco trillones de dígitos. Todo ello usando una computadora armada por él mismo.

Como podemos ver a través de esta historia, paradójicamente, el valor de Pi ha ido cambiando con el tiempo, aunque siempre ha representado lo mismo. Nunca se alcanzaran sus infinitas cifras; pero el hombre  desea estar cada vez más cerca.

Cosas de la matemática, ¿No?

Dante sumaba.Nosotras también: primer post en PP

Es verdad: existen parejas de todo tipo. Las hay eternas, imposibles, desparejas, incomprendidas. Pero ésta es de otro tipo:es incalificable. No, mentira, es una pareja pedagógica autoconvocada y bloggera. Es una nueva categoría que inventamos así que no se maten buscándola en Wikipedia. A las dos profesoras que formamos esta pareja, nos parece importante y más que necesario el trabajo en equipo. Por eso decidimos escribir éste, nuestro primer post en PP (Pareja pedagógica) que no es lo mismo que “al pepe”(ojo), y hacerlo como ejemplo legible del antiguo “El Todo es más que la suma de partes”  que nació con Aristóteles y se modernizó con Von Bertallanfy en 1945. Trabajo colaborativo lo llaman algunos.

Y así empieza este post que también pueden leer en  El toro por las astas

Dante contaba historias, pero aunque no lo crean también contaba números. En su obra más conocida, “La Divina Comedia”  todo se estructura en base al número 3:

La obra consta de 3 partes: Infierno, Purgatorio y Paraíso.

Cada una de ellas tiene 33 cantos.

El infierno se divide en 9 círculos (9 es múltiplo de 3, 9 equivale además a 3 veces 3)

El Purgatorio se divide en 9 jirones.

El Paraíso se divide en 9 cielos.

Los condenados se agrupan en 3 series: Los incontinentes, los violentos y los fraudulentos.

Los que purgan sus pecados forman 3 grupos: aquellos con un amor desviado, otros con un amor deficiente y por último, los que pecaron de amor excesivo.

Y en el Paraíso están los seglares, los activos y los contemplativos.

Tres, tres, tres.

¿Obsesión? No. Significado. A Dante hoy le habrían diagnosticado TOC (trastorno obsesivo compulsivo), pero por suerte para él, y para nosotros vivió en el medioevo toscano, lejos de las obsesiones de la medicina y la psicología modernas.

Para Dante, como para muchos otros el 3 representaba la perfección y la unidad; era además la forma númerica de la trinidad, símbolo religioso por excelencia y por lo tanto, indiscutido.

Pero hay más aún: a los 33 cantos de cada parte hay que sumarle un canto que sirve de introducción. Entonces tenemos 33x3+1=100

El 100 también tiene su significado. Nos ponemos de pie para recibir a los pitagóricos:

Para Pitágoras todo era número. Su mundo eran los números naturales,esos que empiezan:1,2,3 y continúan para siempre, por eso los matemáticos ponemos  tres puntos suspensivos, para nosotros significan que la progresión es infinita. Otra vez el tres.¿Qué habrá significado para el Dante?

A  los pitagóricos les fascinaban el 1, 3, 6 y 10 porque eran cantidades que se podían organizar como triángulos formados por puntos, por eso los llamaban números triangulares. En cambio cuando los puntos eran 4, 9, 16 , 25 ,36, 64 , 100 ..entre otros, se podían  ubicar formando cuadrados. Por eso, aún hoy, les decimos números cuadrados.

También hablaban de números abundantes, deficientes y perfectos....Y así, podríamos continuar escribiendo pasando por el infierno, el purgatorio y el cielo; porque son tantas las anécdotas y relaciones que hay entre Pitágoras y los números, tantas que uno podría decir que son infinitas sin necesidad de hacer trampa y empezar a enumerar...

 Tranquilos, Voy a ser breve y a elegir solo un par de numeritos : 1 y 10.

Primero, cabe decir que es inevitable hablar del 1, la mónada, el número masculino por excelencia, denominado  el “padre de todos los demás”, y como la explicación es bastante evidente, mejor la omito.

Ni hablar  del mágico diez, sin connotaciones futboleras en este momento,  por ser la suma del 1+2+3+4 , decían que reunía toda la naturaleza de los números: lo masculino, lo femenino, el matrimonio....Fue elegido por los pitagóricos para sus juramentos, por estar lleno de mística , y forma la  Tetraktys ,“que contiene la primavera y la raíz  de la incesante  naturaleza”

                                                          

Y si, los números son el lenguaje de la naturaleza, dijo Galileo y empezamos a ver ecuaciones en el agua, el cielo y la tierra.

Así, es como las musas matemáticas toman el toro por las astas para confirmar que las parejas pedagógicas son posibles; por más extrañas y desparejas que sean.

Tan simple o tan dificil como la matemática y la comunicación, es construir estas parejas. Lleva tiempo y es todo un aprendizaje, con los altibajos que ésto implica;pero el esfuerzo vale la pena, el producto final es riquisimo y el  aprendizaje, mutuo.  Solo es cuestión de animarse y empezar.

 ¿En qué círculo del infierno pagaremos el pecado de unir comunicación y matemática?

El infierno del Dante

El huracán de Fibonacci

Mi idea de esta semana era escribir sobre Pitágoras, como comenté en el último post; pero la matemática se va filtrando en nuestra vida a través de formas muy curiosas (y como yo estoy bastante atenta a sus señales), aquí estoy escribiendo sobre Fibonacci.

Quizás Uds. se pregunten cual fue la "invasión matemática" que me desvió de mi rumbo, por eso quiero mostrarles la fotografía que esta mañana twiteó @ClaraGrima y después les cuento..

Ésta es una imagen satelital del Huracán Irene, tan temido y mencionado últimamente. Sobreestampada a la foto, vemos una espiral bastante especial. ¿Quieren saber de que se trata?

Primero, aclaremos que una sucesión, en matemática,  es una función definida en los números naturales. Ésto, quiere decir que es una “lista” de números que se generan aplicando ciertas reglas, y cada uno de esos “resultados” van a ser números N. Existen infinitas sucesiones y por lo general, se intenta que las leyes que las originan, sean simples y claras. 

Como todo en la vida, algunas son más “famosas” que otras, para mí la sucesión más conocida, es sin duda, la Sucesión de Fibonacci.

Leonardo de Pisa (1170 - 1250), también conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano que se hizo famoso por difundir en Europa el sistema de numeración decimal, el mismo que usamos en la actualidad. Como se imaginan, Leonardo también ideó la sucesión de números que lleva su nombre, la famosa “sucesión de Fibonacci”.

Ésta sucesión se obtiene  empezando por la unidad, y construye cada uno de sus términos a partir de  la suma de los dos anteriores: aquí vemos una pequeña porción: (1,1,2,3,5,8,13,...).

Justamente, asociada a esta sucesión numérica, está la espiral de Fibonacci, que se construye en base a cuadriláteros formados con medidas que siguen la serie y uniendo con una curva las esquinas opuestas de los cuadrados de igual medida, leerlo resulta confuso, por eso mejor veamos un video:

Así de simple, así de sencillo; por eso es más que sorprendente que una construcción matemática como ésta aparezca en forma tan recurrente en la naturaleza. La distribución de las hojas alrededor del tallo, la reproducción de los conejos, la disposición de las semillas en numerosas flores y frutos, algunas galaxias y como veíamos anteriormente el mismísimo huracán Irene, se producen siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números. En el video se habla de "la huella de Dios", yo que soy medio hereje, prefiero la frase de Galileo "la naturaleza está escrita en lenguaje matemático" y pensar de que manera el hombre es capaz de interpretar esas leyes naturales. Más allá de cualquier explicación, la verdad es que estas maravillas me siguen sorprendiendo todos los días.

Ésto es solo el principio, tal como la sucesión, los ejemplos siguen y siguen....solo hay que saber mirar para encontrarlos. Para eso, es necesario ir día a día, buscando respuestas a la pregunta que hace un tiempo hizo el Dr. Paenza ¿Matemática estas ahí?, porque sí, ella siempre está.

¡Muy buena semana.!

MAJO

Ah! le debo la conexión con Phi, el número de Oro...pero eso llegará más adelante ;)

Pitagóricos I

Todo es número

Pitágoras 

Previo a una serie de post sobre Pitágoras, comparto con Uds.  esta nota de Nota de Claudio Sánchez del Suplemento Futuro- Página 12, dedicada especialmente a los colegas de Música y porque si hay algo propio de las musas es  justamente la música, por muy matemáticas que sean.

Saludos

MAJO

El Tambor de Pitágoras

En música hay conjuntos formados exclusivamente por instrumentos de viento, como trompetas, flautas o clarinetes. También hay conjuntos formados exclusivamente por instrumentos de cuerda: violines, violas o guitarras. Pero no hay, al menos no en la llamada música occidental, conjuntos formados exclusivamente por tambores.

Es posible tomar una partitura escrita para flauta y ejecutarla en violín. Y viceversa. Pero, en general, no es posible ejecutar sobre tambores una pieza escrita para guitarra, violín o trompeta.

Esta discriminación en contra de los tambores tiene una base física. Cuando se pulsa una cuerda, el sonido que oímos es, en realidad, una mezcla de sonidos. Hay un sonido principal, o tono fundamental y, superpuestos a él, otros sonidos, más débiles y agudos, llamados armónicos o sobretonos. Puede comprobarse experimentalmente que la frecuencia de estos sobretonos es un múltiplo simple del tono fundamental.

La frecuencia es la velocidad con la que vibra el sonido y determina cuán grave o agudo es: más alta la frecuencia, más agudo el sonido; más baja la frecuencia, más grave el sonido. Por ejemplo, la nota La estándar, usada como referencia al afinar instrumentos, tiene una frecuencia de 440 hertz. Es decir, vibra cuatrocientas cuarenta veces en un segundo (por eso la banda que acompañó a Juan Luis Guerra en el comienzo de su carrera se llamaba La 440). Si una cuerda da un tono fundamental de 440 hertz, el primer armónico será de 880 hertz (el doble), el siguiente de 1320 (el triple) y así sucesivamente. Para nuestro oído, estos sonidos se acoplan musicalmente y “suenan bien”.

El efecto es parecido cuando se hacen sonar simultáneamente dos o más cuerdas. El sonido conjunto es musical y suena agradable al oído cuando la frecuencia de las cuerdas se relacionan a través de números sencillos: cuando el sonido de una tiene una frecuencia doble del de la otra, o triple, o dos tercios a algo similar. Si las frecuencias están en una relación más compleja, por ejemplo, de 13 a 17, el sonido resultante no es tan claro y definido, y “suena mal”.

LAS MATEMATICAS DE LA MUSICA

Se dice que esto lo descubrió Pitágoras (el mismo del teorema). Según la leyenda, al pasar por una herrería, Pitágoras escuchó el sonido que hacían los herreros al golpear sobre los yunques. Por alguna razón, ese concierto de martillazos a veces sonaba musical y a veces no.

Al volver a su casa, Pitágoras comenzó a experimentar con cuerdas de distinta longitud y encontró que el sonido musical se obtenía cuando la relación entre sus longitudes se expresaba mediante números pequeños: una el doble de largo que la otra, o el triple, o dos tercios o alguna relación similar. Como la frecuencia de los sonidos que emite una cuerda depende, a igualdad de otras condiciones, de su longitud, lo que Pitágoras había encontrado es la relación de frecuencias que, sabemos ahora, definen el carácter musical de un sonido.

A Pitágoras le impresionó tanto que una relación numérica permitiera definir algo tan subjetivo como la diferencia entre el ruido y la música que parece que fue ahí cuando dijo que “los números gobiernan el mundo”. Por lo menos, gobernaban la música. No es casual que, en la antigua Grecia, la música fuera una rama de la matemática, junto a la aritmética, la geometría y la astronomía.

Esto que se ha dicho para las cuerdas vale también para los instrumentos de viento. Y eso es porque, en ambos casos, lo que suena es un elemento lineal, de una dimensión: en el caso de los instrumentos de cuerda, una cuerda; en el caso de los de viento, una columna de aire. En los elementos de una dimensión se cumple la condición de que el tono fundamental y los armónicos tienen frecuencias que se relacionan mediante números sencillos. En los tambores, en cambio, lo que suena es un parche, un elemento de dos dimensiones. Cuando suenan, los parches también producen una mezcla de sonidos con un tono fundamental y una familia de armónicos. Pero las frecuencias de estos sonidos no guardan una relación numérica sencilla. Para una membrana circular, por ejemplo, el primer armónico tiene una frecuencia que es 1,59 veces la del tono fundamental.

Como no aparece aquí la relación numérica simple que sí se da en los instrumentos de cuerda y de viento, los tambores no producen un sonido “limpio”, “definido” o “musical”. Por eso, salvo excepciones, juegan un papel secundario o de apoyo en la llamada música occidental, basada en las observaciones de Pitágoras.

LA CUESTION DE LOS TIMBALES

Lo dicho acerca de los tambores y su papel menor en la música occidental tiene por lo menos una excepción: los timbales. Este instrumento aparece a menudo en grandes obras de la música clásica. Tanto Bach como Beethoven escribieron muchas obras que requieren timbales para su ejecución. En la Misa de Réquiem, de Berlioz, participan dieciséis timbales operados por diez timbaleros.

Esta excepción a favor de los timbales también tiene una justificación física. Normalmente, un parche como el de un timbal debería emitir armónicos de frecuencias de entre 1,59 y 2,14 veces mayores a la del tono fundamental, respectivamente. Sin embargo, el aire encerrado en la caja del timbal retarda la vibración del parche, de modo que las relaciones entre las frecuencias de los armónicos y la del tono fundamental pasan a ser de 1,5 y 2, relaciones sencillas que dan un sonido musical, agradable al oído, según el criterio descubierto por Pitágoras.